Exercice : Propriétés algébriques et calculs avec l'exponentielle

Étape 1

Pour déterminer la valeur de l'entier $k$, on simplifie l'expression $E(x)$ pour tout réel $x$ en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.

Étape 2

Tout d'abord, on simplifie le numérateur. Pour tout réel $x$, on a : $$(e^{2x-1})^4 = e^{4(2x-1)} = e^{8x-4}$$

Étape 3

On multiplie ensuite par $e^{-3x+5}$ au numérateur : $$(e^{2x-1})^4 \cdot e^{-3x+5} = e^{8x-4} \cdot e^{-3x+5} = e^{(8x-4) + (-3x+5)} = e^{5x+1}$$

Étape 4

On effectue enfin le quotient avec le dénominateur : $$E(x) = \frac{e^{5x+1}}{e^{5x-7}} = e^{(5x+1) - (5x-7)}$$

Étape 5

En développant l'exposant, on obtient : $$(5x+1) - (5x-7) = 5x + 1 - 5x + 7 = 8$$

Étape 6

Ainsi, pour tout réel $x$, $E(x) = e^8$. On en déduit que $k = 8$.