Configurations géométriques et lieux de points
L'essentiel du cours (2 notions)
Configuration géométrique dans un repère
Propriété : Dans un repère orthonormé, distances, milieux et alignement ou orthogonalité s'expriment via les coordonnées des points et des vecteurs.
Méthode : 1. Choisir un repère orthonormé adapté. 2. Exprimer les coordonnées des points. 3. Calculer les distances $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$ ou utiliser la colinéarité/l'orthogonalité.
Parabole comme lieu géométrique
Propriété : L'ensemble des points $M(x ; y)$ équidistants de $F(0 ; p)$ ($p > 0$) et de l'axe $(Ox)$ est la parabole $y = \frac{x^2 + p^2}{2p}$.
Méthode : 1. Écrire $MF^2 = y^2$, soit $x^2 + (y - p)^2 = y^2$. 2. Isoler $y$ pour obtenir $y = \frac{x^2 + p^2}{2p}$. 3. Résoudre l'intersection avec l'autre objet géométrique.
Exemple : Pour $F(0 ; 2)$ et $(Ox)$ : $x^2 + (y-2)^2 = y^2 \iff 4y = x^2 + 4 \iff y = 0{,}25x^2 + 1$.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(-1 ; 3)$, $B(3 ; 5)$ et $C(5 ; 1)$.
En déterminant d'abord les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$, calculer la longueur du segment $[CM]$.
Saisir la valeur de la distance $CM$.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On considère les points $A(-3\,;\,2)$, $B(7\,;\,2)$ et $C(5\,;\,10)$.
Un cercle passe par les trois points $A$, $B$ et $C$. On note $R$ son rayon.
Déterminer la valeur du carré du rayon $R^2$.
Saisir la valeur de $R^2$.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(0, 4)$, $B(6, 0)$ et $C(2, 8)$.
Pour tout réel $k$, on note $P(k, 0)$ le point de l'axe des abscisses d'abscisse $k$. Soient $Q$ et $R$ les projetés orthogonaux respectifs du point $P$ sur les droites $(AC)$ et $(BC)$.
Par une étude analytique, déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle le coefficient directeur de la droite $(QR)$ est égal à $-1$.
Saisir la valeur de $k$ :
Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère le point $F(0; 3)$ et la famille de droites $\mathcal{D}_m$ d'équation $y = mx - 3$, où $m$ est un paramètre réel.
On note $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M(x; y)$ du plan équidistants du point $F$ et de l'axe des abscisses.
Par une démonstration algébrique complète, déterminer la valeur du carré de la pente $m^2$ pour laquelle la droite $\mathcal{D}_m$ est tangente à la courbe $\mathcal{E}$ (c'est-à-dire qu'elle coupe $\mathcal{E}$ en un unique point).
Saisir la valeur de $m^2$.