Étape 1
Pour déterminer la valeur du paramètre $k$, exprimons successivement les coordonnées des points $Q$ et $R$ en fonction de $k$.
Étape 2
Étape 1 : Coordonnées du projeté orthogonal $Q$ de $P$ sur $(AC)$
Étape 3
Le vecteur $\vec{AC}$ a pour coordonnées $(2 - 0, 8 - 4) = (2, 4)$. Une équation réduite de la droite $(AC)$ est donc de la forme $y = 2x + 4$, ce qui équivaut à la forme cartésienne $$2x - y + 4 = 0$$
Étape 4
La droite $(PQ)$ est la perpendiculaire à $(AC)$ passant par $P(k, 0)$. Un vecteur normal à $(AC)$ étant $\vec{n}(2, -1)$, ce vecteur est un vecteur directeur de la droite $(PQ)$. Une équation cartésienne de $(PQ)$ est donc de la forme $x + 2y + c = 0$. Comme $P(k, 0) \in (PQ)$, on a $k + 2(0) + c = 0$, d'où $c = -k$. L'équation de $(PQ)$ est $$x + 2y - k = 0$$
Étape 5
Le point $Q$ est l'intersection des droites $(AC)$ et $(PQ)$. Ses coordonnées vérifient le système : $$\begin{cases} 2x_Q - y_Q = -4 \\ x_Q + 2y_Q = k \end{cases}$$ En résolvant ce système par substitution ou combinaison, on obtient $$x_Q = \frac{k - 8}{5} \quad \text{et} \quad y_Q = \frac{2k + 4}{5}$$
Étape 6
Étape 2 : Coordonnées du projeté orthogonal $R$ de $P$ sur $(BC)$
Étape 7
Le vecteur $\vec{BC}$ a pour coordonnées $(2 - 6, 8 - 0) = (-4, 8)$. La droite $(BC)$ a pour coefficient directeur $-2$ et passe par $B(6, 0)$. Son équation réduite est $y = -2(x - 6)$, ce qui donne sous forme cartésienne $$2x + y - 12 = 0$$
Étape 8
La droite $(PR)$ est la perpendiculaire à $(BC)$ passant par $P(k, 0)$. Elle a pour équation cartésienne $$x - 2y - k = 0$$
Étape 9
Le point $R$ est l'intersection des droites $(BC)$ et $(PR)$. Ses coordonnées vérifient le système : $$\begin{cases} 2x_R + y_R = 12 \\ x_R - 2y_R = k \end{cases}$$ En résolvant ce système, on trouve $$x_R = \frac{k + 24}{5} \quad \text{et} \quad y_R = \frac{12 - 2k}{5}$$
Étape 10
Étape 3 : Calcul du coefficient directeur de $(QR)$ et résolution
Étape 11
Calculons les composantes du vecteur $\vec{QR}$ : $$x_R - x_Q = \frac{k + 24 - (k - 8)}{5} = \frac{32}{5}$$ $$y_R - y_Q = \frac{12 - 2k - (2k + 4)}{5} = \frac{8 - 4k}{5}$$
Étape 12
Le coefficient directeur $m$ de la droite $(QR)$ est donné par : $$m = \frac{y_R - y_Q}{x_R - x_Q} = \frac{\frac{8 - 4k}{5}}{\frac{32}{5}} = \frac{8 - 4k}{32} = \frac{2 - k}{8}$$
Étape 13
On cherche la valeur de $k$ telle que $m = -1$, ce qui équivaut à : $$\frac{2 - k}{8} = -1$$ D'où $2 - k = -8$, soit $k = 10$.
Méthode clé
Pour résoudre un problème de géométrie repérée dépendant d'un paramètre $k$, exprimer les équations de droites puis les coordonnées des points remarquables en fonction de $k$ afin de poser une équation algébrique.
Piège à éviter
Confondre la condition de perpendicularité sur les coefficients directeurs avec l'usage d'un vecteur normal lors de la recherche de l'équation d'une hauteur ou d'un projeté orthogonal.
