Exercice : Configurations géométriques et lieux de points

Étape 1

Soit $M(x; y)$ un point du plan. La distance de $M$ au point $F(0; 3)$ vérifie : $$MF^2 = (x - 0)^2 + (y - 3)^2 = x^2 + (y - 3)^2$$ La distance de $M$ à l'axe des abscisses est $|y|$, ce qui donne pour carré de la distance : $$d(M, (Ox))^2 = y^2$$

Étape 2

Le point $M(x; y)$ appartient à l'ensemble $\mathcal{E}$ si et seulement si $MF^2 = d(M, (Ox))^2$, ce qui équivaut successivement à : $$x^2 + (y - 3)^2 = y^2$$ $$x^2 + y^2 - 6y + 9 = y^2$$ $$6y = x^2 + 9$$ $$y = \frac{1}{6}x^2 + \frac{3}{2}$$ L'ensemble $\mathcal{E}$ est donc la parabole d'équation $y = \frac{1}{6}x^2 + \frac{3}{2}$.

Étape 3

Les abscisses des points d'intersection entre $\mathcal{E}$ et la droite $\mathcal{D}_m$ d'équation $y = mx - 3$ sont les solutions de l'équation : $$\frac{1}{6}x^2 + \frac{3}{2} = mx - 3$$ En multipliant par $6$ de chaque côté, on obtient l'équation équivalente : $$x^2 + 9 = 6mx - 18$$ $$x^2 - 6mx + 27 = 0$$

Étape 4

La droite $\mathcal{D}_m$ est tangente à la parabole $\mathcal{E}$ si et seulement si cette équation du second degré possède une unique solution réelle, soit un discriminant nul. Le discriminant de cette équation est : $$\Delta = (-6m)^2 - 4 \times 1 \times 27 = 36m^2 - 108$$ On résout l'équation $\Delta = 0$ : $$36m^2 - 108 = 0$$ $$36m^2 = 108$$ $$m^2 = 3$$