Étape 1
Soit $\Omega(x\,;\,y)$ le centre du cercle passant par $A$, $B$ et $C$. Le point $\Omega$ est équidistant de ces trois points, ce qui traduit la relation : $$\Omega A^2 = \Omega B^2 = \Omega C^2 = R^2$$
Étape 2
Dans un repère orthonormé, le carré de la distance entre deux points $M(x_M\,;\,y_M)$ et $N(x_N\,;\,y_N)$ est donné par la formule : $$MN^2 = (x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2$$
Étape 3
Exprimons d'abord l'égalité $\Omega A^2 = \Omega B^2$ : $$(x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = (x - 7)^2 + (y - 2)^2$$ En simplifiant par $(y - 2)^2$ de chaque côté, il vient : $$(x + 3)^2 = (x - 7)^2$$ $$x^2 + 6x + 9 = x^2 - 14x + 49$$ $$20x = 40$$ Ce qui donne $x = 2$.
Étape 4
Exprimons ensuite l'égalité $\Omega A^2 = \Omega C^2$ en remplaçant $x$ par $2$ : $$(2 + 3)^2 + (y - 2)^2 = (2 - 5)^2 + (y - 10)^2$$ $$25 + (y^2 - 4y + 4) = 9 + (y^2 - 20y + 100)$$ $$y^2 - 4y + 29 = y^2 - 20y + 109$$ $$16y = 80$$ Ce qui donne $y = 5$. Le centre du cercle est donc $\Omega(2\,;\,5)$.
Étape 5
Calculons enfin la valeur du carré du rayon $R^2 = \Omega A^2$ : $$R^2 = (2 - (-3))^2 + (5 - 2)^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$$
Méthode clé
Traduire l'égalité des carrés des distances du centre $\Omega(x\,;\,y)$ aux points $A$, $B$ et $C$ pour former un système d'équations, puis calculer $\Omega A^2$.
Piège à éviter
Erreurs de signe lors du développement des identités remarquables pour les distances au carré.
