Exercice : Configurations géométriques et lieux de points

Étape 1

Commençons par déterminer les coordonnées du point $M$, milieu du segment $[AB]$. On applique la formule du milieu dans un repère :

Étape 2

$$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Étape 3

$$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Étape 4

Le point $M$ a donc pour coordonnées $(1 ; 4)$.

Étape 5

Le repère étant orthonormé, nous pouvons calculer la distance $CM$ à l'aide de la formule de la distance entre deux points :

Étape 6

$$CM = \sqrt{(x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2}$$

Étape 7

En remplaçant par les coordonnées de $M(1 ; 4)$ et $C(5 ; 1)$ :

Étape 8

$$CM = \sqrt{(1 - 5)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Étape 9

La longueur du segment $[CM]$ est donc égale à $5$.