Approfondissements sur le second degré

On considère deux nombres réels strictement positifs $x$ et $y$ (avec $x > y$) dépendant d'un paramètre réel $k > 3$.

Ces deux réels ont pour somme $k + 1$ et pour produit $2k - 2$.

On sait par ailleurs que la différence $x - y$ est égale à $7$.

Rappel : Deux réels de somme $S$ et de produit $P$ sont les solutions de l'équation $t^2 - S t + P = 0$.

Saisir la valeur du paramètre $k$.

On considère la fonction polynôme $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

où $k$ est un nombre réel fixé.

On sait que $3$ est une racine du polynôme $P$.

Quelle est la plus petite solution de l'équation $P(x) = 0$ ?

On rappelle la propriété de factorisation suivante : pour tout réel $a$ et tout réel $x$ :

$$x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 + a x + a^2)$$

On considère l'équation d'inconnue réelle $x$ suivante :

$$\dfrac{x^3 - 8}{x - 2} = k x$$

où $k$ est un paramètre entier naturel ($k \in \mathbb{N}$).

On cherche à déterminer la plus petite valeur de l'entier naturel $k$ pour laquelle cette équation admet au moins une solution réelle.

Indiquer la valeur de cet entier $k$.

On considère deux nombres réels $u$ et $v$ dépendant d'un paramètre réel $k$ et vérifiant le système :

On cherche à déterminer l'ensemble des valeurs de $k$ pour lesquelles il existe au moins un couple de réels $(u, v)$ respectant ces deux égalités.

Saisir la valeur maximale du paramètre $k$.