Étape 1
Puisque $3$ est une racine du polynôme $P$, on a $P(3) = 0$.
Étape 2
On calcule $P(3)$ en remplaçant $x$ par $3$ dans l'expression :
Étape 3
$$2 \times 3^3 + k \times 3^2 - 25 \times 3 + 12 = 0$$
Étape 4
$$2 \times 27 + 9k - 75 + 12 = 0$$
Étape 5
$$54 + 9k - 63 = 0$$
Étape 6
$$9k - 9 = 0$$
Étape 7
On en déduit que $k = 1$. L'expression de $P(x)$ est donc :
Étape 8
$$P(x) = 2x^3 + x^2 - 25x + 12$$
Étape 9
Comme $3$ est une racine de $P$, le polynôme $P(x)$ peut se factoriser par $(x - 3)$. Il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel $x$ :
Étape 10
$$P(x) = (x - 3)(ax^2 + bx + c)$$
Étape 11
En développant cette expression, on obtient :
Étape 12
$$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 3ax^2 - 3bx - 3c$$
Étape 13
$$P(x) = ax^3 + (b - 3a)x^2 + (c - 3b)x - 3c$$
Étape 14
Par identification des coefficients avec $P(x) = 2x^3 + x^2 - 25x + 12$, on obtient le système :
Étape 15
$$\begin{cases} a = 2 \\ b - 3a = 1 \\ c - 3b = -25 \\ -3c = 12 \end{cases}$$
Étape 16
De la première et de la dernière équation, on tire $a = 2$ et $c = -4$.
Étape 17
De la deuxième équation, on tire $b = 1 + 3a = 1 + 3 \times 2 = 7$.
Étape 18
On vérifie la troisième équation : $c - 3b = -4 - 3 \times 7 = -25$, ce qui est cohérent.
Étape 19
On a donc la factorisation suivante :
Étape 20
$$P(x) = (x - 3)(2x^2 + 7x - 4)$$
Étape 21
Résolvons l'équation $P(x) = 0$, ce qui équivaut à un équation produit nul :
Étape 22
$$x - 3 = 0 \quad \text{ou} \quad 2x^2 + 7x - 4 = 0$$
Étape 23
Pour le second degré $2x^2 + 7x - 4 = 0$, on calcule le discriminant $\Delta$ :
Étape 24
$$\Delta = 7^2 - 4 \times 2 \times (-4) = 49 + 32 = 81$$
Étape 25
Comme $\Delta > 0$, cette équation admet deux solutions réelles distinctes :
Étape 26
$$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \times 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$$
Étape 27
$$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \times 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5$$
Étape 28
L'ensemble des solutions de l'équation $P(x) = 0$ est donc $\mathcal{S} = \{-4 ; 0{,}5 ; 3\}$.
Étape 29
La plus petite solution de l'équation est donc $-4$.
Méthode clé
Si $x_0$ est une racine connue d'un polynôme $P(x)$, alors $P(x_0) = 0$ et $P(x)$ peut se factoriser par $(x - x_0)$.
Piège à éviter
Oublier de vérifier l'ensemble complet des solutions réelles avant de sélectionner la plus petite d'entre elles.
