Étape 1
Étape 1 : Détermination du domaine de définition et simplification de l'expression.
Étape 2
Le quotient $\dfrac{x^3 - 8}{x - 2}$ est défini pour tout réel $x \neq 2$.
Étape 3
En appliquant la formule de factorisation avec $a = 2$, on obtient pour tout $x \neq 2$ :
Étape 4
$$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$$
Étape 5
Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$, l'équation est équivalente à :
Étape 6
$$\dfrac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} = k x \iff x^2 + 2x + 4 = k x$$
Étape 7
Ce qui se réécrit sous la forme d'une équation du second degré :
Étape 8
$$x^2 + (2 - k)x + 4 = 0$$
Étape 9
Étape 2 : Étude du discriminant du trinôme.
Étape 10
Calculons le discriminant $\Delta$ de ce trinôme en fonction de $k$ :
Étape 11
$$\Delta = (2 - k)^2 - 4 \times 1 \times 4 = (2 - k)^2 - 16$$
Étape 12
Pour que le trinôme $x^2 + (2 - k)x + 4$ possède au moins une racine réelle, il faut que son discriminant soit supérieur ou égal à zéro :
Étape 13
$$\Delta \ge 0 \iff (2 - k)^2 \ge 16$$
Étape 14
Ce qui équivaut à $2 - k \ge 4$ ou $2 - k \le -4$, soit $k \le -2$ ou $k \ge 6$.
Étape 15
Comme $k$ est un entier naturel ($k \in \mathbb{N}$), les valeurs candidates sont les entiers $k \ge 6$.
Étape 16
Étape 3 : Analyse des valeurs interdites.
Étape 17
Testons la première valeur candidate $k = 6$ :
Étape 18
Pour $k = 6$, l'équation devient $x^2 - 4x + 4 = 0$, soit $(x - 2)^2 = 0$.
Étape 19
La seule solution de ce trinôme est $x = 2$. Or, $x = 2$ est la valeur interdite de l'équation initiale.
Étape 20
Par conséquent, pour $k = 6$, l'équation initiale n'admet aucune solution réelle.
Étape 21
Testons la valeur suivante $k = 7$ :
Étape 22
Pour $k = 7$, l'équation devient $x^2 - 5x + 4 = 0$.
Étape 23
Le discriminant vaut $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 9 > 0$.
Étape 24
Les solutions sont $x_1 = \dfrac{5 - 3}{2} = 1$ et $x_2 = \dfrac{5 + 3}{2} = 4$.
Étape 25
Ces deux valeurs sont bien différentes de la valeur interdite $2$. L'équation admet donc deux solutions réelles distinctes.
Étape 26
La plus petite valeur de l'entier naturel $k$ pour laquelle l'équation admet au moins une solution réelle est donc $7$.
Méthode clé
Toujours vérifier que les solutions trouvées pour une équation quotient n'annulent pas le dénominateur initial (valeurs interdites).
Piège à éviter
Oublier l'exclusion de la valeur interdite $x=2$, ce qui amènerait à choisir à tort $k=6$ au lieu de $k=7$.
