Étape 1
Exprimons d'abord le produit $p = uv$ en fonction du paramètre $k$. On utilise l'identité remarquable $$(u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$$ En substituant les données du système, il vient : $$(2k)^2 = 16k - 24 + 2uv$$ $$4k^2 = 16k - 24 + 2uv$$ D'où $2uv = 4k^2 - 16k + 24$, ce qui donne : $$uv = 2k^2 - 8k + 12$$
Étape 2
Modélisons la recherche des réels $u$ et $v$. Les réels $u$ et $v$ ont pour somme $s = 2k$ et pour produit $p = 2k^2 - 8k + 12$. Ils sont donc les solutions réelles de l'équation du second degré : $$X^2 - sX + p = 0$$ Soit : $$X^2 - 2kX + (2k^2 - 8k + 12) = 0$$
Étape 3
Étudions la condition d'existence de solutions réelles pour cette équation. L'équation admet au moins une solution réelle si et seulement si son discriminant $\Delta$ est supérieur ou égal à zéro. Calculons $\Delta$ en fonction de $k$ : $$\Delta = (-2k)^2 - 4 \times 1 \times (2k^2 - 8k + 12)$$ $$\Delta = 4k^2 - 8k^2 + 32k - 48 = -4k^2 + 32k - 48$$ L'existence des réels $u$ et $v$ équivaut donc à l'inéquation : $$-4k^2 + 32k - 48 \ge 0$$ En divisant par $-4$ tout en changeant le sens de l'inégalité, on obtient : $$k^2 - 8k + 12 \le 0$$
Étape 4
Résolvons l'inéquation en $k$. Le polynôme du second degré $Q(k) = k^2 - 8k + 12$ a pour discriminant : $$\Delta_k = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 12 = 64 - 48 = 16 = 4^2$$ Ses racines sont : $$k_1 = \frac{8 - 4}{2} = 2 \quad \text{et} \quad k_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6$$ Le coefficient de $k^2$ étant strictement positif ($a = 1 > 0$), le polynôme est négatif ou nul entre ses racines, c'est-à-dire pour $k \in [2, 6]$. De tels réels $u$ et $v$ existent donc si et seulement si $k \in [2, 6]$. La valeur maximale du paramètre $k$ est $6$.
Méthode clé
Deux nombres réels de somme $s$ et de produit $p$ existent si et seulement si l'équation $X^2 - sX + p = 0$ possède au moins une solution réelle, c'est-à-dire si son discriminant $\Delta = s^2 - 4p$ est supérieur ou égal à zéro.
Piège à éviter
Oublier de traduire l'existence de réels par la condition $\Delta \ge 0$ et se contenter de trouver une expression algébrique du produit sans étudier sa faisabilité numérique.
