Exercice : Approfondissements sur le second degré

Étape 1

Soient $x$ et $y$ deux réels de somme $S = k + 1$ et de produit $P = 2k - 2$. D'après le rappel, $x$ et $y$ sont les solutions de l'équation du second degré : $$t^2 - (k+1)t + (2k-2) = 0$$

Étape 2

Calculons le discriminant $\Delta$ de cette équation en fonction de $k$ : $$\Delta = (-(k+1))^2 - 4 \times 1 \times (2k-2) = k^2 + 2k + 1 - 8k + 8 = k^2 - 6k + 9$$ On reconnaît une identité remarquable : $$\Delta = (k-3)^2$$

Étape 3

Comme $k > 3$, on a $k - 3 > 0$, donc $\Delta > 0$. L'équation possède deux solutions réelles distinctes : $$x = \frac{(k+1) + \sqrt{(k-3)^2}}{2} = \frac{(k+1) + (k-3)}{2} = \frac{2k-2}{2} = k - 1$$ $$y = \frac{(k+1) - \sqrt{(k-3)^2}}{2} = \frac{(k+1) - (k-3)}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Étape 4

La différence $x - y$ s'exprime donc en fonction de $k$ par : $$x - y = (k - 1) - 2 = k - 3$$

Étape 5

D'après l'énoncé, la différence $x - y$ est égale à $7$. On en déduit l'équation : $$k - 3 = 7 \iff k = 10$$