Médiatrices, hauteurs, médianes et calcul d'aires
L'essentiel du cours (2 notions)
Médiatrice et cercle circonscrit
Définition : La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Ses points sont équidistants des extrémités.
Propriété : Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un seul point, centre du cercle circonscrit passant par ses trois sommets.
Hauteur et aire d'un triangle
Définition : Une hauteur d'un triangle est la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Formule : $\text{Aire} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$
Exemple : Pour un triangle de base $8\text{ cm}$ et de hauteur $3\text{ cm}$ : $\text{Aire} = \frac{8 \times 3}{2} = 12\text{ cm}^2$.
Dans la figure ci-dessous, le point $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
On sait que la longueur $OB$ mesure $6{,}8\text{ cm}$ et que la longueur $OA$ vaut $k\text{ cm}$.
En utilisant la propriété du cercle circonscrit, déterminer la valeur du nombre $k$.
Saisir la valeur du nombre $k$.
On considère le triangle $ABC$ représenté ci-dessous, dans lequel la hauteur issue du sommet $A$ coupe le côté $[BC]$ au point $H$.
On donne $BC = 7\text{ cm}$ et $AH = 4\text{ cm}$.
Saisir l'aire du triangle $ABC$ en $\text{cm}^2$ :
On considère le triangle $ABC$ représenté ci-dessous (la figure n'est pas à l'échelle).
Le segment $[AH]$ est la hauteur issue du sommet $A$ relative au côté $[BC]$.
On donne :
- $BC = 8\text{ cm}$ ;
- l'aire du triangle $ABC$ est égale à $28\text{ cm}^2$.
Déterminer la longueur de la hauteur $AH$.
Saisir la longueur $AH$ en centimètres (sans unité).
Dans le triangle $ABC$, la hauteur issue du sommet $A$ mesure $6\text{ cm}$ et le côté $[BC]$ mesure $15\text{ cm}$.
Le point $M$ est le milieu du segment $[BC]$, de sorte que le segment $[AM]$ est la médiane issue de $A$.
Calculer l'aire du triangle $ABM$.
Saisir la valeur de l'aire en $\text{cm}^2$ (sans unité).
Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 8\text{ cm}$ et $BC = 10\text{ cm}$.
Le point $H$ est le pied de la hauteur issue du sommet $A$ sur le côté $[BC]$.
En utilisant le calcul d'aires, déterminer la longueur de la hauteur $AH$.
Saisir la valeur de la longueur $AH$ en cm.
Dans la figure ci-dessous, $ABC$ est un triangle tel que $BC = 12\text{ cm}$.
La droite perpendiculaire à $(BC)$ passant par $A$ coupe le segment $[BC]$ en un point $H$ tel que $AH = 7\text{ cm}$. Le point $M$ est le milieu du segment $[BC]$.
Saisir la valeur de l'aire du triangle $ABM$ (en $\text{cm}^2$).
Sur la figure ci-dessous, les segments $[AP]$ et $[BQ]$ sont deux hauteurs du triangle $ABC$. Elles se coupent au point $H$, qui est donc l'orthocentre du triangle.
La droite $(CH)$ coupe le côté $[AB]$ au point $K$. On sait que l'angle $\widehat{ACK}$ mesure $28^\circ$.
Saisir la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ (en degrés) :