Exercice : Médiatrices, hauteurs, médianes et calcul d'aires

Étape 1

On calcule dans un premier temps l'aire du triangle $ABC$ :

Étape 2

$$\text{Aire}(ABC) = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \frac{15 \times 6}{2} = \frac{90}{2} = 45\text{ cm}^2$$

Étape 3

Le point $M$ est le milieu du côté $[BC]$, donc $[AM]$ est la médiane issue de $A$ dans le triangle $ABC$.

Étape 4

Les triangles $ABM$ et $ACM$ ont pour bases respectives les segments $[BM]$ et $[MC]$. Comme $M$ est le milieu de $[BC]$, on a $BM = MC = \frac{15}{2} = 7{,}5\text{ cm}$.

Étape 5

De plus, les triangles $ABM$ et $ACM$ partagent la même hauteur issue de $A$, de longueur $6\text{ cm}$. Une médiane partage donc le triangle en deux triangles d'aires égales.

Étape 6

On en déduit l'aire du triangle $ABM$ :

Étape 7

$$\text{Aire}(ABM) = \frac{\text{Aire}(ABC)}{2} = \frac{45}{2} = 22{,}5\text{ cm}^2$$