Exercice : Médiatrices, hauteurs, médianes et calcul d'aires

Étape 1

Déterminons d'abord la longueur de la base $[BM]$ du triangle $ABM$. Le point $M$ est le milieu du segment $[BC]$ de longueur $12\text{ cm}$ : $$BM = \frac{BC}{2} = \frac{12\text{ cm}}{2} = 6\text{ cm}$$

Étape 2

Identifions ensuite la hauteur du triangle $ABM$. La droite $(AH)$ est perpendiculaire à $(BC)$. Comme le segment $[BM]$ est porté par la droite $(BC)$, le segment $[AH]$ est également la hauteur du triangle $ABM$ associée à la base $[BM]$. sa longueur est $AH = 7\text{ cm}$.

Étape 3

Calculons l'aire du triangle $ABM$ : $$\mathcal{A}_{ABM} = \frac{BM \times AH}{2} = \frac{6 \times 7}{2} = \frac{42}{2} = 21\text{ cm}^2$$

Étape 4

Remarque : Le segment $[AM]$ étant une médiane du triangle $ABC$, il partage ce triangle en deux triangles d'aires égales. L'aire totale de $ABC$ étant $\frac{12 \times 7}{2} = 42\text{ cm}^2$, l'aire de $ABM$ est bien de $21\text{ cm}^2$.