Primitives et équations différentielles
L'essentiel du cours (4 notions)
Primitives de référence et composées
Propriété : Sur un intervalle $I$ où $u$ respecte les conditions : • $u' \mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$ | $u'/u \to \ln(u)$ ($u>0$) • $u'/\sqrt{u} \to 2\sqrt{u}$ ($u>0$) | $u'/u^2 \to -\frac{1}{u}$ ($u \neq 0$) • $u' u^n \to \frac{u^{n+1}}{n+1}$ ($n \in \mathbb{N}$)
Méthode : 1. Identifier la forme $u' g(u)$. 2. Ajuster le coefficient si besoin. 3. Appliquer la formule sur l'intervalle valide.
Exemple : Pour $f(x) = 2x \mathrm{e}^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$, $u(x) = x^2 \implies F(x) = \mathrm{e}^{x^2}$.
Équation différentielle $y' = ay + b$
Propriété : Les solutions de $y' = ay + b$ ($a \neq 0$) sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x \mapsto C \mathrm{e}^{ax} - \frac{b}{a}$ avec $C \in \mathbb{R}$. La constante $-\frac{b}{a}$ est la solution particulière constante.
Méthode : 1. Calculer la solution particulière constante $y_p = -\frac{b}{a}$. 2. Ajouter la solution générale de $y' = ay$, soit $x \mapsto C \mathrm{e}^{ax}$. 3. Déterminer $C$ avec la condition initiale.
Exemple : Pour $y' = 2y - 6$, $y_p = 3$. Les solutions sont $f(x) = C \mathrm{e}^{2x} + 3$ ($C \in \mathbb{R}$).
Équation $y' = ay + f$
Propriété : Si $y_p$ est une solution particulière de $y' = ay + f$, alors $y$ est solution si et seulement si $z = y - y_p$ vérifie $z' = az$.
Méthode : 1. Poser $z = y - y_p$. 2. Exprimer la solution générale $z(x) = C \mathrm{e}^{ax}$. 3. Conclure avec $y(x) = C \mathrm{e}^{ax} + y_p(x)$ ($C \in \mathbb{R}$).
Exemple : Avec $y_p(x) = x + 1$ solution de $y' = y - x$, les solutions sont $y(x) = C \mathrm{e}^x + x + 1$ ($C \in \mathbb{R}$).
Équations non linéaires guidées
Propriété : Sans formule générale de cours, l'étude d'une équation non linéaire (ex. logistique) se ramène à une équation linéaire via un changement d'inconnue fourni par l'énoncé.
Méthode : 1. Poser la fonction auxiliaire $z$ donnée. 2. Résoudre l'équation linéaire en $z$. 3. Exprimer $y$ puis étudier son comportement asymptotique.
Exemple : Si $z = \frac{1}{y}$ transforme $y' = y - y^2$ en $z' = -z + 1$, alors $y(x) = \frac{1}{C \mathrm{e}^{-x} + 1}$ ($C \in \mathbb{R}$).
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 6x(x^2 + 1)^2$.
On note $F$ la primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui vérifie la condition $F(0) = 2$.
En reconnaissant la forme d'une dérivée usuelle d'une fonction composée, déterminer l'expression de $F(x)$ puis calculer la valeur de $F(1)$.
Saisir la valeur de $F(1)$.
On considère l'équation différentielle $(E) : y' = 3y - 6$.
On admet que la fonction constante $g$, définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 2$, est une solution particulière de l'équation $(E)$.
Soit $f$ la solution de l'équation $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 7$.
Déterminer la valeur de $f(\ln(2))$.
On considère l'équation différentielle $(E) : y' = 2y - 6$.
- Déterminer la solution particulière constante de l'équation $(E)$.
- En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.
- Déterminer la fonction $f$, solution de $(E)$, qui vérifie la condition initiale $f(0) = 8$.
Saisir la valeur de $f(\ln(3))$.
Soit $b$ un nombre réel.
On considère une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ qui vérifie, pour tout réel $x$, la relation $f'(x) = 2f(x) + b$.
Sachant que $f(0) = 5$ et $f(\ln 2) = 17$, déterminer la valeur du réel $b$.
On considère l'équation différentielle $(E) : y' = -3y + 6x + 11$.
On admet que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 2x + 3$ est une solution particulière de $(E)$.
Soit $f$ la solution de $(E)$ satisfaisant la condition $f(0) = m$, où $m$ est un nombre réel. On sait que la courbe représentative de $f$ passe par le point de coordonnées $(1~;~5 + 4\text{e}^{-3})$.
Saisir la valeur du réel $m$.
On considère une population dont l'évolution au cours du temps $t \ge 0$ (exprimé en mois) est modélisée par une fonction $y$ strictement positive et dérivable sur $[0 ; +\infty[$, vérifiant l'équation différentielle :
$$y' = y - \frac{1}{10}y^2$$Afin d'étudier cette équation, on pose $z = \frac{1}{y}$.
Au bout de $\ln(2)$ mois, la population atteint $4$ milliers d'individus, c'est-à-dire $y(\ln 2) = 4$.
Déterminer la taille initiale de la population $y(0)$ (en milliers d'individus).
Saisir la valeur de $y(0)$.