Étape 1
1. Recherche de la solution particulière constante :
Soit $d$ une fonction constante solution de l'équation $(E)$. Sa dérivée est nulle ($d' = 0$). L'équation $(E)$ s'écrit alors :$$0 = 2d - 6$$Ce qui équivaut à $2d = 6$, soit $d = 3$. La solution constante est donc la fonction $x \mapsto 3$.
Étape 2
2. Résolution générale de l'équation différentielle :
Les solutions de l'équation sans second membre $y' = 2y$ sont les fonctions $x \mapsto C e^{2x}$ avec $C \in \mathbb{R}$.
Démonstration du cours : Si on pose $g(x) = y(x)e^{-2x}$, alors $g'(x) = (y'(x) - 2y(x))e^{-2x} = 0$, donc $g(x) = C$ (constante), d'où $y(x) = C e^{2x}$.
En ajoutant la solution particulière constante $d = 3$, l'ensemble des solutions de $(E)$ est donné par :$$y(x) = C e^{2x} + 3 \quad \text{où } C \in \mathbb{R}$$
Étape 3
3. Détermination de la solution $f$ vérifiant $f(0) = 8$ :
On calcule $f(0)$ à partir de l'expression générale :$$f(0) = C e^{2 \times 0} + 3 = C e^0 + 3 = C + 3$$La condition $f(0) = 8$ équivaut à $C + 3 = 8$, soit $C = 5$.
La fonction $f$ est donc définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 5 e^{2x} + 3$.
Étape 4
4. Calcul de $f(\ln(3))$ :
En remplaçant $x$ par $\ln(3)$ :$$f(\ln(3)) = 5 e^{2\ln(3)} + 3$$D'après les propriétés de la fonction exponentielle et du logarithme népérien, $2\ln(3) = \ln(3^2) = \ln(9)$. On a donc $e^{2\ln(3)} = e^{\ln(9)} = 9$.
D'où :$$f(\ln(3)) = 5 \times 9 + 3 = 45 + 3 = 48$$
Méthode clé
Pour résoudre $y' = ay + b$, on détermine d'abord la solution constante $d = -\frac{b}{a}$, puis on ajoute la solution générale de $y' = ay$, soit $x \mapsto C e^{ax} + d$.
Piège à éviter
Confondre $e^{2\ln(3)}$ avec $2e^{\ln(3)}$ au lieu de $(e^{\ln(3)})^2 = 3^2 = 9$.
