Étape 1
On cherche la primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 6x(x^2 + 1)^2$ vérifiant la condition $F(0) = 2$.
Étape 2
Posons $u(x) = x^2 + 1$. La fonction $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $u'(x) = 2x$.
Étape 3
On remarque que l'on peut réécrire $f(x)$ sous la forme : $$f(x) = 3 \times 2x \times (x^2 + 1)^2 = 3 \, u'(x) \, (u(x))^2$$
Étape 4
Une primitive de la forme $u' \, u^2$ est $\frac{1}{3} u^3$. Par conséquent, les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ sont de la forme : $$F(x) = 3 \times \frac{1}{3} (x^2 + 1)^3 + C = (x^2 + 1)^3 + C$$ où $C$ est une constante réelle.
Étape 5
Déterminons la valeur de la constante $C$ grâce à la condition initiale $F(0) = 2$ : $F(0) = (0^2 + 1)^3 + C = 1 + C = 2$, ce qui donne $C = 1$.
Étape 6
L'expression exacte de la primitive recherchée est donc $F(x) = (x^2 + 1)^3 + 1$.
Étape 7
Calculons enfin la valeur de $F(1)$ : $$F(1) = (1^2 + 1)^3 + 1 = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9$$
Méthode clé
Pour intégrer une fonction du type $k \cdot u'(x) \cdot (u(x))^n$, utiliser le fait qu'une primitive de $u' \cdot u^n$ est $\frac{1}{n+1} u^{n+1}$.
Piège à éviter
Oublier d'ajuster le facteur constant devant $u'(x)$ (ici $6x = 3 \times 2x$, le coefficient $3$ doit être conservé).
