Étape 1
Soit $y$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. On pose $z = y - g$, c'est-à-dire $y = z + g$. Comme $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si pour tout réel $x$ :
$$z'(x) + g'(x) = -3(z(x) + g(x)) + 6x + 11$$
Étape 2
En remplaçant $g(x) = 2x + 3$ et $g'(x) = 2$, on obtient :
$$z'(x) + 2 = -3z(x) - 3(2x + 3) + 6x + 11$$
$$z'(x) + 2 = -3z(x) + 2$$
Ce qui équivaut à $z'(x) = -3z(x)$.
Étape 3
Les solutions de l'équation $z' = -3z$ sont les fonctions de la forme $z(x) = C \text{e}^{-3x}$, où $C$ est un nombre réel quelconque. Ainsi, l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ est constitué des fonctions de la forme :
$$y(x) = C \text{e}^{-3x} + 2x + 3 \quad (C \in \mathbb{R})$$
Étape 4
La fonction $f$ est une solution de $(E)$, donc $f(x) = C \text{e}^{-3x} + 2x + 3$ pour une certaine constante $C$. En utilisant la condition $f(0) = m$, on trouve :
$$f(0) = C \text{e}^0 + 2(0) + 3 = C + 3$$
On en deduit que $C + 3 = m$, soit $C = m - 3$. L'expression de $f(x)$ devient donc :
$$f(x) = (m - 3)\text{e}^{-3x} + 2x + 3$$
Étape 5
On sait que la courbe représentative de $f$ passe par le point $(1~;~5 + 4\text{e}^{-3})$, ce qui signifie que $f(1) = 5 + 4\text{e}^{-3}$. En calculant $f(1)$ à partir de son expression, on obtient :
$$f(1) = (m - 3)\text{e}^{-3} + 2(1) + 3 = (m - 3)\text{e}^{-3} + 5$$
On égaile les deux expressions de $f(1)$ :
$$(m - 3)\text{e}^{-3} + 5 = 5 + 4\text{e}^{-3}$$
Ce qui donne $(m - 3)\text{e}^{-3} = 4\text{e}^{-3}$. Comme $\text{e}^{-3} \neq 0$, on peut diviser par $\text{e}^{-3}$ pour obtenir :
$$m - 3 = 4 \implies m = 7$$
Méthode clé
Déterminer la forme générale des solutions d'une équation $y' = a y + f$ en posant le changement d'inconnue $z = y - y_p$, ce qui ramène l'étude à l'équation homogène $z' = a z$.
Piège à éviter
Oublier d'ajouter la solution particulière $g(x)$ à la solution générale de l'équation homogène lors de l'expression de $f(x)$.
