Étape 1
La relation $f'(x) = 2f(x) + b$ est une équation différentielle du type $y' = ay + b$ avec $a = 2$ et $b \in \mathbb{R}$.
Étape 2
D'après le cours, les solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions de la forme $f(x) = C e^{2x} - \dfrac{b}{2}$, où $C$ est un nombre réel.
Étape 3
En utilisant la condition initiale $f(0) = 5$, on a $C e^{0} - \dfrac{b}{2} = 5$, ce qui donne $C - \dfrac{b}{2} = 5$, soit $C = 5 + \dfrac{b}{2}$.
Étape 4
L'expression de la fonction $f$ s'écrit donc, pour tout réel $x$ : $$f(x) = \left(5 + \dfrac{b}{2}\right) e^{2x} - \dfrac{b}{2}$$
Étape 5
On utilise ensuite la seconde information $f(\ln 2) = 17$. On calcule $f(\ln 2)$ : $$f(\ln 2) = \left(5 + \dfrac{b}{2}\right) e^{2\ln 2} - \dfrac{b}{2}$$
Étape 6
Comme $e^{2\ln 2} = e^{\ln(2^2)} = e^{\ln 4} = 4$, on a : $$f(\ln 2) = \left(5 + \dfrac{b}{2}\right) \times 4 - \dfrac{b}{2} = 20 + 2b - \dfrac{b}{2} = 20 + \dfrac{3}{2}b$$
Étape 7
L'égalité $f(\ln 2) = 17$ équivaut à $20 + \dfrac{3}{2}b = 17$.
Étape 8
Ce qui équivaut à $\dfrac{3}{2}b = 17 - 20 = -3$, d'où $3b = -6$, c'est-à-dire $b = -2$.
Méthode clé
Les solutions sur $\mathbb{R}$ d'une équation différentielle de la forme $y' = a y + b$ (avec $a \neq 0$) sont les fonctions définies par $x \mapsto C e^{ax} - \dfrac{b}{a}$, où $C$ est une constante réelle.
Piège à éviter
Ne pas confondre la solution particulière constante $-\dfrac{b}{a}$ avec $\dfrac{b}{a}$ lors de la recherche de la forme générale des solutions.
