Étape 1
L'équation différentielle homogène associée à $(E)$ est $(E_0) : y' = 3y$.
Étape 2
Les solutions de $(E_0)$ sont les fonctions de la forme $x \mapsto C e^{3x}$, où $C$ est une constante réelle.
Étape 3
Puisque $g: x \mapsto 2$ est une solution particulière de l'équation $(E)$, l'ensemble des solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$ est constitué des fonctions de la forme $f(x) = C e^{3x} + 2$, avec $C \in \mathbb{R}$.
Étape 4
On utilise la condition initiale $f(0) = 7$ pour déterminer la valeur de la constante $C$.
Étape 5
Comme $f(0) = C e^{3 \times 0} + 2 = C e^0 + 2 = C + 2$, l'égalité $f(0) = 7$ équivaut à $C + 2 = 7$, d'où $C = 5$.
Étape 6
La fonction $f$ recherchée est donc définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 5 e^{3x} + 2$.
Étape 7
On calcule maintenant $f(\ln(2))$ :
Étape 8
$$f(\ln(2)) = 5 e^{3 \ln(2)} + 2$$
Étape 9
D'après les propriétés de la fonction exponentielle et du logarithme népérien, $3 \ln(2) = \ln\left(2^3\right) = \ln(8)$.
Étape 10
Par conséquent, $e^{3 \ln(2)} = e^{\ln(8)} = 8$.
Étape 11
On en déduit que $f(\ln(2)) = 5 \times 8 + 2 = 40 + 2 = 42$.
Méthode clé
Les solutions d'une équation différentielle du type $y' = ay + f(x)$ s'obtiennent en ajoutant à une solution particulière les solutions de l'équation homogène associée $y' = ay$, qui sont de la forme $x \mapsto C e^{ax}$ avec $C \in \mathbb{R}$.
Piège à éviter
Oublier d'ajouter la solution particulière lors de l'écriture de la forme générale, ou faire une erreur de simplification sur l'expression $e^{3\ln(2)}$.
