Exercice : Primitives et équations différentielles

Étape 1

Soit $y$ une fonction strictement positive et dérivable sur $[0 ; +\infty[$. On pose $z = \frac{1}{y}$. La fonction $z$ est dérivable sur $[0 ; +\infty[$ et sa dérivée est donnée par la formule de dérivation d'une inverse : $$z' = -\frac{y'}{y^2}$$

Étape 2

En divisant l'équation $y' = y - \frac{1}{10}y^2$ par $y^2$ (ce qui est possible car $y(t) > 0$), on obtient : $$\frac{y'}{y^2} = \frac{1}{y} - \frac{1}{10}$$ En substituant $\frac{y'}{y^2} = -z'$ et $\frac{1}{y} = z$, on a $-z' = z - \frac{1}{10}$, ce qui équivaut à l'équation différentielle linéaire du premier ordre : $$z' + z = \frac{1}{10}$$

Étape 3

Les solutions de l'équation $z' + z = \frac{1}{10}$ sont de la forme : $$z(t) = C \mathrm{e}^{-t} + \frac{1}{10} \quad (C \in \mathbb{R})$$

Étape 4

L'énoncé indique $y(\ln 2) = 4$, ce qui implique : $$z(\ln 2) = \frac{1}{y(\ln 2)} = \frac{1}{4}$$ D'autre part, avec la formule de $z(t)$ : $$z(\ln 2) = C \mathrm{e}^{-\ln 2} + \frac{1}{10} = \frac{C}{2} + \frac{1}{10}$$ On résout l'équation en $C$ : $$\frac{C}{2} + \frac{1}{10} = \frac{1}{4}$$ ce qui donne $\frac{C}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{3}{20}$, d'où $C = \frac{3}{10}$.

Étape 5

On en déduit la valeur de $z(0)$ : $$z(0) = C \mathrm{e}^{0} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$ Enfin, la taille initiale de la population est donnée par : $$y(0) = \frac{1}{z(0)} = \frac{5}{2} = 2{,}5$$