Positions relatives et coplanarité
L'essentiel du cours (4 notions)
Positions relatives dans l'espace
Propriété : Deux droites sont soit coplanaires (sécantes, parallèles), soit non coplanaires. Une droite et un plan (ou deux plans) sont soit parallèles, soit sécants.
Méthode : Pour 2 droites : 1. Tester la colinéarité des vecteurs directeurs. 2. Si non colinéaires, résoudre le système paramétrique pour trouver l'intersection.
Coplanarité et configurations géométriques
Définition : Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ (avec $\vec{u}, \vec{v}$ non colinéaires) sont coplanaires s'il existe $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.
Propriété : Une droite de vecteur directeur $\vec{u}$ est parallèle à un plan dirigé par $(\vec{v}, \vec{w})$ si et seulement si $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sont coplanaires.
Méthode : Pour prouver que $D(A, \vec{u})$ est parallèle à $(BCD)$, exprimer $\vec{u}$ comme combinaison linéaire de $\vec{BC}$ et $\vec{BD}$.
Barycentre et associativité
Définition : Si $\sum a_i \neq 0$, le barycentre $G$ du système $\{(A_i, a_i)\}$ est l'unique point vérifiant $\sum a_i \vec{GA_i} = \vec{0}$.
Propriété : Associativité : On ne change pas le barycentre en remplaçant un sous-ensemble de points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs masses.
Méthode : Pour simplifier la recherche d'un barycentre de 3 ou 4 points, regrouper d'abord 2 points en leur barycentre partiel.
Fonction vectorielle de Leibniz
Définition : Pour tout point $M$, la fonction vectorielle de Leibniz associe le vecteur $\vec{f}(M) = \sum_{i=1}^n a_i \vec{MA_i}$.
Propriété : • Si $\sum a_i = 0$, $\vec{f}(M)$ est un vecteur constant indépendant de $M$. • Si $\sum a_i \neq 0$, $\vec{f}(M) = (\sum a_i)\vec{MG}$ où $G$ est le barycentre du système.
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points suivants :
- $A(1\,; 2\,; 3)$
- $B(16\,; k+2\,; -32)$ où $k$ est un nombre réel
- $C(0\,; 5\,; 1)$
- $D(3\,; -7\,; -6)$
On souhaite déterminer la valeur du paramètre $k$ pour laquelle les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Saisir la valeur du réel $k$ pour laquelle les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points $A(2 ; 1 ; 4)$, $B(3 ; 4 ; 2)$, $C(4 ; 0 ; 5)$, $D(1 ; -2 ; 3)$ et, pour tout réel $k$, le point $E_k(-3 ; 7 ; k)$.
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle la droite $(DE_k)$ est parallèle au plan $(ABC)$.
Saisir la valeur de $k$.
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques suivantes :
$$d_1 : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 4 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$$$d_2 : \begin{cases} x = k + s \\ y = 3 - 2s \\ z = 1 + s \end{cases} \quad (s \in \mathbb{R})$$où $k$ est un nombre réel.
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle les droites $d_1$ et $d_2$ sont coplanaires.
Saisir la valeur de $k$.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère :
- La droite $d_1$ passant par le point $A(1, -1, 2)$ et admettant pour vecteur directeur $\vec{u}(2, 1, -1)$.
- La droite $d_2$ passant par le point $B(k, 3, 0)$, où $k$ est un nombre réel, et admettant pour vecteur directeur $\vec{v}(1, -2, 3)$.
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle les droites $d_1$ et $d_2$ sont coplanaires.
Saisir la valeur de $k$.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points suivants :
$$A(2\,; 1\,; 0), \quad B(3\,; 3\,; 2), \quad C(1\,; -1\,; 3) \quad \text{et} \quad D(5\,; k\,; 1)$$
où $k$ est un nombre réel.
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires.
Saisir la valeur du réel k.
Rappel :
1. Soit $(A_1, a_1), \dots, (A_n, a_n)$ un système de points pondérés de l'espace tel que $\sum a_i \neq 0$. Le barycentre $G$ de ce système est l'unique point vérifiant $\sum_{i=1}^n a_i \vec{GA_i} = \vec{0}$.
2. Propriété d'associativité : On ne modifie pas le barycentre d'un système en remplaçant une partie des points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients.
Soit $ABCD$ un tétraèdre de l'espace.
Pour tout réel $k > 0$, on note $G_k$ le barycentre du système de points pondérés :
La droite $(AG_k)$ coupe le plan $(BCD)$ en un point noté $Q_k$.
On sait que pour une valeur particulière du réel $k$, le point $Q_k$ vérifie la relation vectorielle :
$$\vec{BQ_k} = \frac{1}{7}\vec{BC} + \frac{5}{7}\vec{BD}$$Saisir la valeur du réel $k$.