Étape 1
Analysons d'abord la position relative des vecteurs directeurs $\vec{u}(2, 1, -1)$ et $\vec{v}(1, -2, 3)$. Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles car $\frac{2}{1} \neq \frac{1}{-2}$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont donc pas colinéaires, ce qui signifie que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles. Par conséquent, les droites $d_1$ et $d_2$ sont coplanaires si et seulement si elles sont sécantes.
Étape 2
Établissons les représentations paramétriques des deux droites. La droite $d_1$ passe par $A(1, -1, 2)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(2, 1, -1)$ : $$d_1 : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 2 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$ La droite $d_2$ passe par $B(k, 3, 0)$ et a pour vecteur directeur $\vec{v}(1, -2, 3)$ : $$d_2 : \begin{cases} x = k + s \\ y = 3 - 2s \\ z = 3s \end{cases} \quad (s \in \mathbb{R})$$
Étape 3
Les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes si et seulement si le système suivant admet un unique couple solution $(t, s)$ : $$\begin{cases} 1 + 2t = k + s & (1) \\ -1 + t = 3 - 2s & (2) \\ 2 - t = 3s & (3) \end{cases}$$ Résolvons le sous-système constitué des équations (2) et (3). L'équation (2) donne $t = 4 - 2s$. En substituant $t$ dans l'équation (3), nous obtenons $$2 - (4 - 2s) = 3s$$ Ce qui équivaut à $-2 + 2s = 3s$, soit $s = -2$. En remplaçant $s = -2$ dans l'expression de $t$, nous trouvons $t = 4 - 2(-2) = 8$.
Étape 4
Injectons enfin le couple $(t, s) = (8, -2)$ dans l'équation (1) pour déterminer la valeur de $k$ : $$1 + 2(8) = k + (-2)$$ $$17 = k - 2$$ D'où $k = 19$. Les droites $d_1$ et $d_2$ sont donc coplanaires si et seulement si $k = 19$.
Méthode clé
Deux droites de l'espace sont coplanaires si et seulement si elles sont parallèles ou sécantes.
Piège à éviter
Confondre des droites non coplanaires avec des droites parallèles, ou oublier de vérifier que les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.
