Étape 1
Déterminons les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{DE_k}$ à partir des coordonnées des points donnés :
Étape 2
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 - 2 \\ 4 - 1 \\ 2 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad \vec{AC} = \begin{pmatrix} 4 - 2 \\ 0 - 1 \\ 5 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Étape 3
$$\vec{DE_k} = \begin{pmatrix} -3 - 1 \\ 7 - (-2) \\ k - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 9 \\ k - 3 \end{pmatrix}$$
Étape 4
Vérifions que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un unique plan. Les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas proportionnelles car $\frac{1}{2} \neq \frac{3}{-1}$. Ces vecteurs ne sont donc pas colinéaires, ce qui garantit que les points $A$, $B$ et $C$ forment le plan $(ABC)$.
Étape 5
La droite $(DE_k)$ est parallèle au plan $(ABC)$ si et seulement si son vecteur directeur $\vec{DE_k}$ est coplanaire aux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, c'est-à-dire s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :
Étape 6
$$\vec{DE_k} = a \vec{AB} + b \vec{AC}$$
Étape 7
En passant aux coordonnées, cette relation vectorielle équivaut au système de trois équations suivant :
Étape 8
$$\begin{cases} a + 2b = -4 \quad (1) \\ 3a - b = 9 \quad (2) \\ -2a + b = k - 3 \quad (3) \end{cases}$$
Étape 9
De l'équation (2), on exprime $b$ en fonction de $a$ : $b = 3a - 9$. En se substituant dans l'équation (1), on obtient $a + 2(3a - 9) = -4$, ce qui donne $7a - 18 = -4$, d'où $7a = 14$ et donc $a = 2$.
Étape 10
On en déduit la valeur de $b$ : $b = 3 \times 2 - 9 = -3$.
Étape 11
En injectant enfin les valeurs de $a$ et $b$ dans l'équation (3), on trouve :
Étape 12
$$-2 \times 2 + (-3) = k - 3$$
Étape 13
ce qui donne $-7 = k - 3$, d'où $k = -4$.
Étape 14
La droite $(DE_k)$ est donc parallèle au plan $(ABC)$ pour $k = -4$.
Méthode clé
Une droite de vecteur directeur $\vec{w}$ est parallèle à un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ si et seulement s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.
Piège à éviter
Oublier de vérifier au préalable que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan en s'assurant que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires.
