Étape 1
Étape 1 : Identification du point $Q_k$ par la propriété d'associativité.
Étape 2
Pour tout réel $k > 0$, la somme des coefficients du système $S_k$ est égale à $3 + 1 + 1 + k = 5 + k$. Comme $k > 0$, cette somme est non nulle, donc le barycentre $G_k$ existe et est unique.
Étape 3
Considérons le sous-système de points pondérés du plan $(BCD)$ donné par $S' = \{(B, 1), (C, 1), (D, k)\}$. La somme de ses coefficients est $1 + 1 + k = 2 + k \neq 0$. Ce sous-système admet donc un unique barycentre, que l'on note $H$.
Étape 4
Par la propriété d'associativité du barycentre, le point $G_k$ est le barycentre du système pondéré $\{(A, 3), (H, 2+k)\}$.
Étape 5
Par définition du barycentre de deux points, les points $A$, $G_k$ et $H$ sont alignés. Le point $H$ appartient donc à la droite $(AG_k)$. De plus, comme $H$ est formé à partir des points $B$, $C$ et $D$, il appartient au plan $(BCD)$.
Étape 6
Le point $H$ est donc l'intersection de la droite $(AG_k)$ et du plan $(BCD)$. Par définition de l'énoncé, on a ainsi $Q_k = H$.
Étape 7
Étape 2 : Expression du vecteur $\vec{BQ_k}$ en fonction de $\vec{BC}$ et $\vec{BD}$.
Étape 8
Le point $Q_k$ étant le barycentre du système $\{(B, 1), (C, 1), (D, k)\}$, la propriété fondamentale du barycentre exprimée au point $B$ donne :
Étape 9
$$(1 + 1 + k)\vec{BQ_k} = 1\vec{BB} + 1\vec{BC} + k\vec{BD}$$
Étape 10
Ce qui équivaut à :
Étape 11
$$(2 + k)\vec{BQ_k} = \vec{BC} + k\vec{BD}$$
Étape 12
Comme $2 + k > 0$, on obtient en divisant par $2 + k$ :
Étape 13
$$\vec{BQ_k} = \frac{1}{2+k}\vec{BC} + \frac{k}{2+k}\vec{BD}$$
Étape 14
Étape 3 : Identification et résolution.
Étape 15
L'énoncé indique que pour la valeur de $k$ recherchée, on a :
Étape 16
$$\vec{BQ_k} = \frac{1}{7}\vec{BC} + \frac{5}{7}\vec{BD}$$
Étape 17
Les points $B$, $C$ et $D$ forment une face du tétraèdre et ne sont pas alignés. Les vecteurs $(\vec{BC}, \vec{BD})$ forment donc une base du plan $(BCD)$. La décomposition de $\vec{BQ_k}$ dans cette base est unique.
Étape 18
Par identification des coefficients, on obtient le système :
Étape 19
$$\begin{cases} \dfrac{1}{2+k} = \dfrac{1}{7} \\[8pt] \dfrac{k}{2+k} = \dfrac{5}{7} \end{cases}$$
Étape 20
La première équation donne $2 + k = 7$, soit $k = 5$.
Étape 21
En remplaçant $k$ par $5$ dans la seconde équation, on vérifie que $\dfrac{5}{2+5} = \dfrac{5}{7}$, ce qui confirme la valeur trouvée.
Étape 22
La valeur du réel $k$ recherchée est $5$.
Méthode clé
L'associativité permet d'identifier le point d'intersection d'une droite et d'un plan comme un barycentre partiel du système.
Piège à éviter
Oublier de vérifier que la somme des coefficients du sous-système est non nulle avant d'associer les points.
