Exercice : Positions relatives et coplanarité

Étape 1

Commençons par déterminer les coordonnées des vecteurs directeurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$.

Étape 2

Pour le vecteur $\vec{CD}$ : $$\vec{CD} = \begin{pmatrix} 3 - 0 \\ -7 - 5 \\ -6 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -12 \\ -7 \end{pmatrix}$$

Étape 3

Pour le vecteur $\vec{AB}$ : $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 16 - 1 \\ (k+2) - 2 \\ -32 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ k \\ -35 \end{pmatrix}$$

Étape 4

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un nombre réel $\lambda$ tel que $\vec{AB} = \lambda \vec{CD}$.

Étape 5

Ce qui équivaut au système d'équations suivant sur les coordonnées : $$\begin{cases} 15 = 3\lambda \\ k = -12\lambda \\ -35 = -7\lambda \end{cases}$$

Étape 6

La première équation donne $\lambda = \dfrac{15}{3} = 5$.

Étape 7

La troisième équation vérifie cette valeur car $-35 = -7 \times 5$.

Étape 8

En remplaçant $\lambda$ par $5$ dans la deuxième équation, on obtient : $$k = -12 \times 5 = -60$$