Exercice : Positions relatives et coplanarité

Étape 1

Déterminons les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{AD}$ dans le repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ :

Étape 2

$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3-2 \\ 3-1 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ -1-1 \\ 3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

Étape 3

$$\vec{AD} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ k-1 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ k-1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Étape 4

Vérifions que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires. Les deux premières coordonnées sont proportionnelles ($1/(-1) = 2/(-2) = -1$), mais pas les troisièmes ($2/3 \neq -1$). Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont donc pas colinéaires et définissent le plan $(ABC)$.

Étape 5

Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires si et seulement si le vecteur $\vec{AD}$ appartient au plan $(ABC)$, c'est-à-dire s'il existe un couple de réels $(x, y)$ tel que :

Étape 6

$$\vec{AD} = x \vec{AB} + y \vec{AC}$$

Étape 7

En passant aux coordonnées, cette égalité vectorielle équivaut au système suivant :

Étape 8

$$\begin{cases} 1x - 1y = 3 \\ 2x - 2y = k - 1 \\ 2x + 3y = 1 \end{cases}$$

Étape 9

Résolvons le sous-système constitué de la première et de la troisième équation :

Étape 10

$$\begin{cases} x - y = 3 \\ 2x + 3y = 1 \end{cases}$$

Étape 11

De la première équation, on extrait $x = y + 3$. En remplaçant $x$ dans la troisième équation, on obtient :

Étape 12

$$2(y + 3) + 3y = 1$$

Étape 13

ce qui équivaut à $5y + 6 = 1$, d'où $5y = -5$ et donc $y = -1$.

Étape 14

On en déduit la valeur de $x$ :

Étape 15

$$x = -1 + 3 = 2$$

Étape 16

Injectons désormais les valeurs $x = 2$ et $y = -1$ dans la deuxième équation du système pour trouver $k$ :

Étape 17

$$2(2) - 2(-1) = k - 1$$

Étape 18

ce qui donne $4 + 2 = k - 1$, d'où $6 = k - 1$ et finalement $k = 7$.

Étape 19

Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont donc coplanaires si et seulement si $k = 7$.