Exercice : Positions relatives et coplanarité

Étape 1

Un vecteur directeur de $d_1$ est $\vec{u}(2 ; 1 ; -1)$ et un vecteur directeur de $d_2$ est $\vec{v}(1 ; -2 ; 1)$.

Étape 2

Les coordonnées de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas proportionnelles car $\frac{2}{1} \neq \frac{1}{-2}$. Ainsi, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires et les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.

Étape 3

Deux droites non parallèles de l'espace sont coplanaires si et seulement si elles sont sécantes, c'est-à-dire s'il existe un unique couple $(t, s)$ de réels vérifiant le système : $$\begin{cases} 1 + 2t = k + s \quad (1) \\ -1 + t = 3 - 2s \quad (2) \\ 4 - t = 1 + s \quad (3) \end{cases}$$

Étape 4

L'équation $(3)$ donne $s = 3 - t$. En substituant cette expression dans l'équation $(2)$, on obtient : $$-1 + t = 3 - 2(3 - t)$$ $$-1 + t = -3 + 2t$$ $$t = 2$$

Étape 5

En remplaçant $t = 2$ dans $s = 3 - t$, on trouve $s = 1$.

Étape 6

Pour que le système soit compatible, le couple $(t, s) = (2, 1)$ doit également vérifier l'équation $(1)$ : $$1 + 2(2) = k + 1$$ $$5 = k + 1$$ $$k = 4$$

Étape 7

Les droites $d_1$ et $d_2$ sont donc coplanaires si et seulement si $k = 4$.