Logarithme népérien
L'essentiel du cours (5 notions)
Propriétés algébriques du logarithme népérien
Propriété : Pour $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$, $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$, $\ln(a^n) = n \ln(a)$.
Méthode : 1. Poser les conditions d'existence (arguments $> 0$). 2. Appliquer les propriétés algébriques. 3. Résoudre $\ln(a) = \ln(b) \iff a = b$.
Exemple : $\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(2)$ ($x > 1$) équivaut à $\ln(x(x-1)) = \ln(2) \iff x^2 - x - 2 = 0$, d'où $x = 2$ (car $x > 1$).
Croissances comparées du logarithme népérien
Propriété : En $+\infty$, $x^n$ l'emporte sur $\ln(x)$ : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$. En $0^+$, $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ ($n \in \mathbb{N}^*$).
Méthode : En $+\infty$, lever une forme indéterminée en factorisant par le terme prépondérant $x^n$ pour faire apparaître $\frac{\ln(x)}{x^n}$.
Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (x - \ln(x)) = \lim_{x \to +\infty} x\left(1 - \frac{\ln(x)}{x}\right) = +\infty$ car $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
Dérivation de la fonction $\ln(u)$
Propriété : Si $u$ est strictement positive et dérivable sur $I$, alors $f = \ln(u)$ est dérivable et $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$.
Méthode : Sur l'intervalle où $u(x) > 0$, le signe de la dérivée $f'(x)$ est identique au signe de $u'(x)$.
Exemple : Pour $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ sur $\mathbb{R}$, $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$, qui est du signe de $2x$.
Étude des fonctions puissance $x^\alpha$
Définition : Pour tout $x > 0$ et $\alpha \in \mathbb{R}$, la fonction puissance est définie par $x^\alpha = e^{\alpha \ln(x)}$.
Propriété : Dérivable sur $]0 ; +\infty[$, de dérivée $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$. Elle est strictement croissante si $\alpha > 0$ et strictement décroissante si $\alpha < 0$.
Exemple : Pour $f(x) = x^{\sqrt{2}}$, $f'(x) = \sqrt{2} x^{\sqrt{2}-1} > 0$ sur $]0 ; +\infty[$, donc $f$ est strictement croissante.
Limite de la suite $(1 + x/n)^n$
Propriété : Pour tout réel $x$, la suite $u_n = \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$ converge vers $e^x$ : $\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x$.
Méthode : Écrire $\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^{n \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right)}$ et exploiter le taux de variation $\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = 1$.
Exemple : $\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right)^n = e^3$ et $\lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
On considère l'équation d'inconnue réelle $x$ :
$$\ln(x^2 - k) - \ln(x + 1) = \ln(2)$$où $k$ est une constante réelle.
Sachant que $x = 5$ est solution de cette équation, déterminer la valeur de $k$.
Saisir la valeur du réel $k$.
Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par :
$$f(x) = \ln(x^2 + a x + 1)$$On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. On sait que le nombre dérivé de $f$ en $2$ est égal à $\dfrac{7}{11}$, c'est-à-dire que $f'(2) = \dfrac{7}{11}$.
- Exprimer $f'(x)$ en fonction de $x$ et du réel $a$.
- Déterminer la valeur du réel $a$.
Saisir la valeur du réel $a$.
Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par :
$$f(x) = \frac{8x - 3\ln(x)}{x}$$Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Saisir la valeur de cette limite.
Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par :
$$f(x) = \frac{-4 x^3 \ln(x) + k x}{2 x^2 + 3}$$où $k$ est un nombre réel.
On sait que :
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = 8$$Saisir la valeur du réel $k$.
Soit $\alpha$ un réel strictement positif. On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = x^\alpha$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. La droite $T$ désigne la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $x_A = \mathrm{e}$.
Sachant que la droite $T$ coupe l'axe des ordonnées au point $B(0 ; -2\mathrm{e}^3)$, déterminer la valeur exacte de $\alpha$.
Saisir la valeur de $\alpha$.
Soit $a$ un réel strictement positif. Pour tout entier naturel $n \ge 1$, on pose $v_n = \left(1 + \frac{2a}{n}\right)^n$.
On admet que la suite $(v_n)$ converge vers une limite strictement positive notée $L(a)$.
On suppose que le réel $a$ vérifie l'égalité suivante :
$$ \int_0^2 \left(L(a)\right)^x \text{d}x = \frac{e^{12} - 1}{6} $$Saisir la valeur du réel $a$.