Étape 1
Par définition de la fonction puissance pour tout $\alpha > 0$ et tout $x > 0$, la fonction $f$ s'écrit sous la forme exponentielle : $$f(x) = \exp(\alpha \ln(x))$$
Étape 2
La fonction $f$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ comme composée de fonctions dérivables. En appliquant la règle de dérivation des fonctions composées, on obtient pour tout $x > 0$ : $$f'(x) = \frac{\alpha}{x} \exp(\alpha \ln(x)) = \alpha x^{\alpha - 1}$$
Étape 3
Au point d'abscisse $x_A = \mathrm{e}$, la valeur de la fonction est $f(\mathrm{e}) = \mathrm{e}^\alpha$ et le coefficient directeur de la tangente est $f'(\mathrm{e}) = \alpha \mathrm{e}^{\alpha - 1}$. L'équation de la tangente $T$ au point $A$ s'écrit donc : $$y = f'(\mathrm{e})(x - \mathrm{e}) + f(\mathrm{e})$$ Ce qui donne par développement : $$y = \alpha \mathrm{e}^{\alpha - 1}(x - \mathrm{e}) + \mathrm{e}^\alpha = \alpha \mathrm{e}^{\alpha - 1} x - \alpha \mathrm{e}^\alpha + \mathrm{e}^\alpha = \alpha \mathrm{e}^{\alpha - 1} x + (1 - \alpha)\mathrm{e}^\alpha$$
Étape 4
La droite $T$ coupe l'axe des ordonnées au point $B(0 ; -2\mathrm{e}^3)$. L'ordonnée à l'origine de $T$ correspond à la valeur de $y$ pour $x = 0$, d'où l'égalité : $$(1 - \alpha)\mathrm{e}^\alpha = -2\mathrm{e}^3$$ Ce qui équivaut à : $$(\alpha - 1)\mathrm{e}^\alpha = 2\mathrm{e}^3$$
Étape 5
Pour résoudre cette équation, considérons la fonction auxiliaire $h$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $h(x) = (x - 1)\mathrm{e}^x$. La fonction $h$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ comme produit de fonctions dérivables. Pour tout $x > 0$ : $$h'(x) = 1 \cdot \mathrm{e}^x + (x - 1)\mathrm{e}^x = x \mathrm{e}^x$$ Comme $x > 0$ et $\mathrm{e}^x > 0$ pour tout $x > 0$, la dérivée $h'(x)$ est strictement positive sur $]0 ; +\infty[$. La fonction $h$ est donc strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.
Étape 6
On remarque que $h(3) = (3 - 1)\mathrm{e}^3 = 2\mathrm{e}^3$. Comme $h$ est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$, l'équation $h(x) = 2\mathrm{e}^3$ admet une unique solution sur cet intervalle. On en conclut que $\alpha = 3$.
Méthode clé
Traduire la propriété géométrique en une équation algébrique, puis utiliser la stricte monotonie de la fonction associée pour démontrer l'unicité de la solution.
Piège à éviter
Oublier de prouver l'unicité de la solution $\alpha = 3$ en négligeant l'étude de la stricte monotonie de la fonction auxiliaire.
