Exercice : Logarithme népérien

Étape 1

Pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$, posons $u(x) = x^2 + a x + 1$. Comme $a > 0$ et $x > 0$, la fonction $u$ est strictement positive et dérivable sur $]0 ; +\infty[$.

Étape 2

La fonction $u$ est dérivable et sa dérivée est donnée par : $$u'(x) = 2x + a$$

Étape 3

D'après la formule de dérivation de la fonction $\ln(u)$, la dérivée $f'$ est donnée par : $$f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{2x + a}{x^2 + a x + 1}$$

Étape 4

Calculons l'expression du nombre dérivé $f'(2)$ en fonction de $a$ : $$f'(2) = \frac{2 \times 2 + a}{2^2 + a \times 2 + 1} = \frac{4 + a}{5 + 2a}$$

Étape 5

D'après l'énoncé, on a $f'(2) = \dfrac{7}{11}$, ce qui donne l'équation : $$\frac{4 + a}{5 + 2a} = \frac{7}{11}$$

Étape 6

En effectuant un produit en croix, cette égalité équivaut à : $$11(4 + a) = 7(5 + 2a)$$

Étape 7

En développant chaque membre, on obtient : $$44 + 11a = 35 + 14a$$

Étape 8

Ce qui équivaut successivement à : $$14a - 11a = 44 - 35$$ $$3a = 9$$ $$a = 3$$

Étape 9

Le réel $a$ est donc égal à $3$.