Étape 1
Soit $a > 0$. Pour tout entier naturel $n \ge 1$, réécrivons le terme général $v_n$ en passant par la forme exponentielle :
$$v_n = \exp\left(n \ln\left(1 + \frac{2a}{n}\right)\right)$$
Étape 2
Posons $h = \frac{2a}{n}$. Puisque $a > 0$ est un réel fixe, lorsque $n$ tend vers $+\infty$, $h$ tend vers $0$. L'argument de l'exponentielle devient :
$$n \ln\left(1 + \frac{2a}{n}\right) = \frac{2a}{h} \ln(1+h) = 2a \cdot \frac{\ln(1+h) - \ln(1)}{h}$$
Étape 3
On reconnaît le taux de variation en $1$ de la fonction $x \mapsto \ln(x)$. Cette fonction étant dérivable en $1$ avec $\ln'(1) = 1$, nous avons :
$$\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = 1$$
Étape 4
Par produit de limites, il vient :
$$\lim_{n \to +\infty} n \ln\left(1 + \frac{2a}{n}\right) = 2a \times 1 = 2a$$
Par continuité de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$, on obtient la limite $L(a)$ :
$$L(a) = \lim_{n \to +\infty} v_n = e^{2a}$$
Étape 5
Calculons à présent l'intégrale proposée. Pour tout $x \in [0 ; 2]$, on a $(L(a))^x = (e^{2a})^x = e^{2ax}$.
Une primitive de $x \mapsto e^{2ax}$ sur $\mathbb{R}$ est $x \mapsto \frac{e^{2ax}}{2a}$. On calcule donc :
$$\int_0^2 (L(a))^x \text{d}x = \int_0^2 e^{2ax} \text{d}x = \left[ \frac{e^{2ax}}{2a} \right]_0^2 = \frac{e^{4a} - 1}{2a}$$
Étape 6
L'équation donnée dans l'énoncé s'écrit ainsi :
$$\frac{e^{4a} - 1}{2a} = \frac{e^{12} - 1}{6}$$
Par identification du dénominateur et de l'exposant (la fonction $t \mapsto \frac{e^{2t}-1}{t}$ étant strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$), on en déduit que $4a = 12$, ce qui équivaut à $a = 3$.
Méthode clé
Pour déterminer la limite d'une forme $(1 + U_n)^n$, réécrire l'expression sous la forme $\exp\left(n \ln\left(1 + U_n\right)\right)$ et faire apparaître le taux de variation de la fonction logarithme népérien en 1.
Piège à éviter
Considérer à tort que la limite vaut 1 sous prétexte que $1 + \frac{2a}{n}$ tend vers 1 (forme indéterminée $1^\infty$).
