Étape 1
Puisque $x = 5$ est solution de l'équation, ce nombre vérifie l'égalité. En remplaçant $x$ par $5$, on obtient : $$\ln(5^2 - k) - \ln(5 + 1) = \ln(2)$$ ce qui se simplifie en : $$\ln(25 - k) - \ln(6) = \ln(2)$$
Étape 2
En supposant $25 - k > 0$, on applique la propriété algébrique du quotient $\ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)$ : $$\ln\left(\frac{25 - k}{6}\right) = \ln(2)$$
Étape 3
Par stricte croissante de la fonction logarithme népérien sur $]0, +\infty[$, cette égalité équivaut à : $$\frac{25 - k}{6} = 2$$
Étape 4
En multipliant chaque membre par $6$, il vient : $$25 - k = 12$$ d'où $k = 25 - 12 = 13$.
Étape 5
On vérifie enfin que pour $k = 13$ et $x = 5$, les termes $x^2 - k = 12$ et $x + 1 = 6$ sont bien strictement positifs, ce qui confirme la validité de la solution.
Méthode clé
Pour déterminer un paramètre inconnu, remplacer la variable par la valeur de la solution donnée, puis regrouper les logarithmes à l'aide de la propriété $\ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)$ afin d'utiliser l'injectivité de la fonction logarithme.
Piège à éviter
Oublier de vérifier que les expressions sous les logarithmes restent strictement positives avec la valeur trouvée.
