Étape 1
Pour tout réel $x > 0$, exprimons le rapport $\frac{f(x)}{x}$ sous forme simplifiée :
Étape 2
$$\frac{f(x)}{x} = \frac{-4 x^3 \ln(x) + k x}{x(2 x^2 + 3)} = \frac{-4 x^2 \ln(x) + k}{2 x^2 + 3}$$
Étape 3
Déterminons la limite du numérateur lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures. D'après les croissances comparées du cours, on a :
Étape 4
$$\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x) = 0$$
Étape 5
Par produit et somme de limites, on en déduit que :
Étape 6
$$\lim_{x \to 0^+} \left(-4 x^2 \ln(x) + k\right) = -4 \times 0 + k = k$$
Étape 7
Déterminons la limite du dénominateur :
Étape 8
$$\lim_{x \to 0^+} (2 x^2 + 3) = 3$$
Étape 9
Par quotient des limites, on obtient :
Étape 10
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = \frac{k}{3}$$
Étape 11
Or, l'énoncé indique que cette limite est égale à $8$. On obtient donc l'équation :
Étape 12
$$\frac{k}{3} = 8$$
Étape 13
Ce qui donne $k = 8 \times 3 = 24$.
Méthode clé
Pour lever une forme indéterminée en $0^+$ faisant intervenir un produit $x^n \ln(x)$, on utilise la croissance comparée usuelle $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$.
Piège à éviter
Oublier de simplifier le quotient $\frac{f(x)}{x}$ avant de chercher la limite, ce qui conduit à une forme indéterminée non simplifiée.
