Limites et asymptotes
L'essentiel du cours (4 notions)
Limites usuelles et croissances comparées
Propriété : En $+\infty$, l'exponentielle l'emporte sur les puissances : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
Méthode : Pour la limite d'une composée $g \circ f$ en $a$ : 1. Calculer $L = \lim_{x \to a} f(x)$. 2. Calculer $M = \lim_{u \to L} g(u)$. 3. Conclure que $\lim_{x \to a} g(f(x)) = M$.
Exemple : $\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} = 0$ car $\lim_{x \to +\infty} -x^2 = -\infty$ et $\lim_{u \to -\infty} e^u = 0$.
Levée d'indétermination par terme prépondérant
Propriété : En $\pm\infty$, pour lever une forme indéterminée $\infty - \infty$ ou $\frac{\infty}{\infty}$, on factorise le terme prépondérant (plus haut degré ou $e^x$) au numérateur et au dénominateur.
Méthode : 1. Identifier le terme prépondérant ($x^n$ ou $e^x$). 2. Le mettre en facteur au numérateur et au dénominateur. 3. Simplifier puis calculer la limite avec les limites usuelles.
Exemple : $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+1}{x^2-2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(3+1/x^2)}{x^2(1-2/x^2)} = 3$.
Asymptotes verticales et horizontales
Propriété : • Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, la droite $x = a$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$. • Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$, la droite $y = L$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$.
Exemple : Si $f(x) = \frac{1}{x-3} + 2$ : $\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$ ($x=3$ asymptote verticale) et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ ($y=2$ asymptote horizontale).
Asymptotes obliques et branches infinies
Propriété : La droite $y = ax + b$ ($a \neq 0$) est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $\pm\infty$ si et seulement si $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$.
Méthode : 1. Calculer $a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$. 2. Si $a \neq 0$, calculer $b = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax]$. 3. Si $b \in \mathbb{R}$, la droite $y = ax + b$ est asymptote oblique.
Exemple : Si $f(x) = 2x + 1 + \frac{1}{x}$, $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (2x+1)] = 0$ donc $y = 2x+1$ est asymptote oblique en $+\infty$.
On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; + \infty[$ par :
$$f(x) = \frac{4x^2 - 3x + 2}{2x^2 + 5x}$$En factorisant par le terme prépondérant $x^2$ au numérateur et au dénominateur, lever la forme indéterminée afin de déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
Saisir la valeur de la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
Soit $k$ un nombre réel. On considère la fonction $f$ définie sur $]1 ; + \infty[$ par :
$$f(x) = \frac{k x + 5}{3 x - 1}$$La courbe représentative de $f$ admet la droite d'équation $y = 2$ comme asymptote horizontale en $+\infty$.
En déterminant la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ en fonction de $k$, déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur de $k$.
Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par :
$$f(x) = \frac{(3k - 2)x^3 + 5x^2 - 1}{4x^3 - 2x + 3}$$où $k$ est un nombre réel.
Sachant que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 7$, déterminer la valeur de $k$.
Saisir la valeur du réel $k$.
Soit $f$ la fonction définie sur $]2 ; +\infty[$ par :
$$f(x) = \frac{a x + 6}{x - 2}$$où $a$ est un nombre réel.
La courbe représentative de la fonction $f$ admet la droite d'équation $y = 5$ comme asymptote horizontale en $+\infty$.
Saisir l'abscisse $x$ du point de la courbe d'ordonnée $7$.
Soit $k$ un nombre réel. On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\text{∞}[$ par :
$$f(x) = \frac{k e^x - 20 x^2}{4 e^x + 5 x}$$On sait que la courbe représentative de $f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y = 5$ au voisinage de $+\text{∞}$.
- En factorisant le numérateur et le dénominateur par $e^x$, exprimer $\lim_{x \to +\text{∞}} f(x)$ en fonction de $k$ à l'aide des croissances comparées.
- En déduire la valeur du paramètre $k$.
Saisir la valeur de $k$.
Soit $k$ un nombre réel positif.
On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par :
$$f(x) = \frac{k e^x - 5 x}{3 e^x + 2 x^2 + 1}$$La courbe représentative de la fonction $f$ admet la droite d'équation $y = 2$ comme asymptote horizontale en $+\infty$.
Saisir la valeur du réel $k$.