Exercice : Limites et asymptotes

Étape 1

Pour tout $x > 0$, on factorise le terme prépondérant $x^2$ au numérateur et au dénominateur :$$f(x) = \frac{x^2 \left(4 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}\right)}{x^2 \left(2 + \frac{5}{x}\right)}$$

Étape 2

Comme $x > 0$, $x^2 \neq 0$, on simplifie l'expression par $x^2$ :$$f(x) = \frac{4 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{5}{x}}$$

Étape 3

On calcule la limite du numérateur et du dénominateur lorsque $x$ tend vers $+\infty$ :$$\lim_{x \to +\infty} \left(4 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}\right) = 4 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \left(2 + \frac{5}{x}\right) = 2$$

Étape 4

Par quotient de limites, on obtient :$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{4}{2} = 2$$