Étape 1
La droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$. Cela signifie que : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$$
Étape 2
Déterminons l'expression de cette limite en fonction de $k$. Pour tout $x > 0$, on factorise le numérateur et le dénominateur par le terme prépondérant $e^x$ : $$f(x) = \frac{e^x \left(k - 5 \frac{x}{e^x}\right)}{e^x \left(3 + 2 \frac{x^2}{e^x} + \frac{1}{e^x}\right)} = \frac{k - 5 \frac{x}{e^x}}{3 + 2 \frac{x^2}{e^x} + \frac{1}{e^x}}$$
Étape 3
Par croissances comparées, on sait que : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$$ De plus, $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0$.
Étape 4
Par somme et produit des limites, on obtient : $$\lim_{x \to +\infty} \left(k - 5 \frac{x}{e^x}\right) = k \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \left(3 + 2 \frac{x^2}{e^x} + \frac{1}{e^x}\right) = 3$$ Par quotient des limites, il vient : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{k}{3}$$
Étape 5
En égalant les deux expressions de la limite, on obtient : $$\frac{k}{3} = 2$$ ce qui donne $k = 6$.
Méthode clé
Pour lever une forme indéterminée du type $\frac{\infty}{\infty}$ avec des exponentielles et des puissances en $+\infty$, on factorise par le terme prépondérant $e^x$, puis on utilise les limites par croissances comparées $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$.
Piège à éviter
Conclure prématurément à une forme indéterminée sans effectuer la factorisation par le terme prépondérant $e^x$.
