Étape 1
La courbe représentative de $f$ admet la droite d'équation $y = 5$ comme asymptote horizontale en $+\infty$, ce qui signifie par définition du cours que : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5$$
Étape 2
Déterminons la limite en $+\infty$ de l'expression de $f(x)$ en fonction de $a$. Pour tout $x > 2$ : $$f(x) = \frac{x\left(a + \frac{6}{x}\right)}{x\left(1 - \frac{2}{x}\right)} = \frac{a + \frac{6}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$$ Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{6}{x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x} = 0$, on en déduit par quotient que : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = a$$ Par identification avec la limite attendue, on obtient $a = 5$. La fonction est donc définie par $f(x) = \frac{5x + 6}{x - 2}$.
Étape 3
On cherche l'abscisse $x$ du point d'ordonnée $7$, c'est-à-dire la solution de l'équation $f(x) = 7$ sur $]2 ; +\infty[$ : $$\frac{5x + 6}{x - 2} = 7$$ Comme $x > 2$, le dénominateur est strictement positif. L'équation équivaut à : $$5x + 6 = 7(x - 2)$$ Soit $5x + 6 = 7x - 14$.
Étape 4
En regroupant les termes en $x$, on obtient $2x = 20$, d'où $x = 10$. La valeur $10$ appartient bien à l'intervalle $]2 ; +\infty[$.
Méthode clé
La droite d'équation $y = L$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$ si et seulement si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$.
Piège à éviter
Confondre l'asymptote horizontale $y = L$ (liée à la limite en $\pm\infty$) et l'asymptote verticale $x = x_0$ (liée à une valeur interdite).
