Étape 1
Pour tout $x > 0$, la recherche de la limite de $f(x)$ en $+\infty$ donne une forme indéterminée du type "$\frac{\infty}{\infty}$".
Étape 2
On factorise le terme prépondérant $x^3$ au numérateur et au dénominateur :
Étape 3
$$f(x) = \frac{x^3 \left( (3k - 2) + \frac{5}{x} - \frac{1}{x^3} \right)}{x^3 \left( 4 - \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^3} \right)}$$
Étape 4
Pour tout $x > 0$, on simplifie par $x^3$ :
Étape 5
$$f(x) = \frac{(3k - 2) + \frac{5}{x} - \frac{1}{x^3}}{4 - \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^3}}$$
Étape 6
On détermine les limites du numérateur et du dénominateur :
Étape 7
$$\lim_{x \to +\infty} \left( (3k - 2) + \frac{5}{x} - \frac{1}{x^3} \right) = 3k - 2$$
Étape 8
$$\lim_{x \to +\infty} \left( 4 - \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^3} \right) = 4$$
Étape 9
Par quotient des limites, on obtient :
Étape 10
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{3k - 2}{4}$$
Étape 11
Or, l'énoncé indique que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 7$. On en déduit l'équation :
Étape 12
$$\frac{3k - 2}{4} = 7$$
Étape 13
Ce qui équivaut à $3k - 2 = 28$, soit $3k = 30$, d'où $k = 10$.
Méthode clé
Pour lever une forme indéterminée du type "$\frac{\infty}{\infty}$" en $+\infty$, on factorise le terme prépondérant (la plus grande puissance de $x$) au numérateur et au dénominateur afin de pouvoir simplifier l'expression.
Piège à éviter
Confondre la limite du quotient des termes de plus haut degré avec la valeur de $k$ directe : il faut bien résoudre l'équation en $k$ obtenue après passage à la limite.
