Exercice : Limites et asymptotes

Étape 1

Étape 1 : Calcul de la limite de $f(x)$ en $+\infty$ en fonction de $k$.

Pour tout $x > 1$, on factorise par le terme prépondérant $x$ au numérateur et au dénominateur :

$$f(x) = \frac{x\left(k + \frac{5}{x}\right)}{x\left(3 - \frac{1}{x}\right)} = \frac{k + \frac{5}{x}}{3 - \frac{1}{x}}$$

Étape 2

Or, $\lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$. Par somme et quotient des limites, on obtient :

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{k}{3}$$

Étape 3

Étape 2 : Utilisation de l'asymptote horizontale.

La courbe représentative de $f$ admet la droite d'équation $y = 2$ comme asymptote horizontale en $+\infty$, ce qui signifie que :

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$$

Étape 4

Étape 3 : Détermination du paramètre $k$.

On en déduit l'équation :

$$\frac{k}{3} = 2$$

Ce qui donne en multipliant par $3$ :

$$k = 6$$