Exercice : Limites et asymptotes

Étape 1

Pour tout réel $x > 0$, on factorise le numérateur et le dénominateur de $f(x)$ par $e^x$ : $$f(x) = \frac{e^x \left( k - 20 \frac{x^2}{e^x} \right)}{e^x \left( 4 + 5 \frac{x}{e^x} \right)} = \frac{k - 20 \frac{x^2}{e^x}}{4 + 5 \frac{x}{e^x}}$$

Étape 2

Par croissances comparées, on sait que : $$\lim_{x \to +\text{∞}} \frac{x^2}{e^x} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\text{∞}} \frac{x}{e^x} = 0$$

Étape 3

Par somme et produit de limites, on en déduit : $$\lim_{x \to +\text{∞}} \left( k - 20 \frac{x^2}{e^x} \right) = k \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\text{∞}} \left( 4 + 5 \frac{x}{e^x} \right) = 4$$

Étape 4

Par quotient de limites, on obtient : $$\lim_{x \to +\text{∞}} f(x) = \frac{k}{4}$$

Étape 5

Comme la courbe représentative de $f$ possède une asymptote horizontale d'équation $y = 5$ en $+\text{∞}$, la limite de $f(x)$ en $+\text{∞}$ est égale à $5$. On résout donc l'équation : $$\frac{k}{4} = 5$$ Ce qui donne $k = 20$.