Intersections et systèmes d'équations
L'essentiel du cours (4 notions)
Résolution de systèmes géométriques
Propriété : L'intersection d'objets géométriques s'obtient en résolvant le système formé par leurs équations cartésiennes ou paramétriques.
Méthode : 1. Exprime les coordonnées d'un objet (ex : $x(t), y(t), z(t)$ d'une droite). 2. Injecte-les dans l'équation de l'autre objet (ex : le plan). 3. Résous et interprète.
Exemple : Injecter $(t; 2t; 1-t)$ dans $x + y + z = 3$ donne $2t + 1 = 3 \implies t = 1$. Le point d'intersection est $(1; 2; 0)$.
Intersection de deux plans
Propriété : Deux plans dont les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires se coupent selon une droite.
Méthode : 1. Forme le système des deux équations cartésiennes. 2. Fixe l'une des variables comme paramètre $t$ (ex : $z = t$). 3. Exprime les deux autres variables en fonction de $t$.
Vecteur orthogonal à deux vecteurs
Propriété : Un vecteur $\vec{n}(a;b;c)$ est orthogonal aux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ si et seulement si $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$.
Méthode : 1. Écris le système $\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \end{cases}$. 2. Fixe arbitrairement l'une des coordonnées à $1$ (ex : $a = 1$). 3. Résous le système pour déterminer $b$ et $c$.
Équation d'une sphère et intersection
Définition : La sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega(a;b;c)$ et de rayon $R>0$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que $\Omega M = R$.
Formule : $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$
Méthode : Pour l'intersection sphère-droite : injecte $x(t), y(t), z(t)$ de la droite dans l'équation de la sphère, puis résous l'équation du second degré en $t$.
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère la droite $(D)$ d'équation paramétrique :
$$\left\{\begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = k + 3t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R})$$où $k$ est un nombre réel fixé.
On considère également le plan $(P)$ d'équation cartésienne :
$$x + y - z + 4 = 0$$La droite $(D)$ et le plan $(P)$ se coupent en un point $A$ dont l'abscisse vaut $x_A = 5$.
En déterminant d'abord la valeur du paramètre $t$ correspondant au point $A$, puis l'expression de ses coordonnées, déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur du réel $k$.
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ définies par les représentations paramétriques suivantes :
$$\mathcal{D}_1 : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = a + t \\ z = 3 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \qquad \text{et} \qquad \mathcal{D}_2 : \begin{cases} x = -1 + k \\ y = 4 + 2k \\ z = 1 + k \end{cases} \quad (k \in \mathbb{R})$$où $a$ est un nombre réel.
Déterminer la valeur du réel $a$ pour laquelle les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes.
Saisir la valeur du réel $a$.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère la droite $d_1$ définie par la représentation paramétrique :
$$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = -1 + t \\ z = 4 - 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$On considère également la famille de droites $d_k$, dépendant du paramètre réel $k$, définies par la représentation paramétrique :
$$\begin{cases} x = k + 2s \\ y = -2 + 3s \\ z = -3 + 3s \end{cases} \quad (s \in \mathbb{R})$$Déterminer la valeur du paramètre réel $k$ pour laquelle la droite $d_1$ et la droite $d_k$ sont coplanaires.
Saisir la valeur du paramètre $k$.
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}(1\,; 2\,; -1)$ et $\vec{v}(2\,; -1\,; 3)$.
Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par l'origine $O$ et dirigé par les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
Pour tout réel $k$, on définit le vecteur $\vec{w}_k(2k + 1\,; k - 4\,; 3k - 5)$.
On cherche à déterminer la valeur du paramètre $k$ pour laquelle le vecteur $\vec{w}_k$ appartient au plan $\mathcal{P}$.
Saisir la valeur du paramètre $k$.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère l'ensemble $\mathcal{S}$ des points $M(x, y, z)$ situés à une distance égale à $\sqrt{29}$ du point $\Omega(1, 0, 2)$.
Pour tout nombre réel $k > 0$, on note $\mathcal{D}_k$ la droite dont un système d'équations paramétriques est donné par :
$$\begin{cases} x = t \\ y = k + 2t \\ z = 1 + 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$On sait que la droite $\mathcal{D}_k$ coupe l'ensemble $\mathcal{S}$ en un unique point d'intersection.
Déterminer la valeur du réel $k$.
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les trois plans $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ d'équations cartésiennes respectives :
- $\mathcal{P}_1 : x + 2y - z + 3 = 0$
- $\mathcal{P}_2 : 2x - y + a z - 1 = 0 \quad (\text{où } a \in \mathbb{R})$
- $\mathcal{P}_3 : 7x + 11y + 5z - 2 = 0$
On admet que pour toute valeur du réel $a$, les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ se coupent selon une droite, notée $\mathcal{D}_a$.
Déterminer la valeur du réel $a$ pour laquelle la droite $\mathcal{D}_a$ est parallèle au plan $\mathcal{P}_3$.
Indiquer comme réponse la valeur exacte du réel $a$.