Exercice : Intersections et systèmes d'équations

Étape 1

Le point $A$ appartient à la droite $(D)$, ses coordonnées vérifient donc le système paramétrique pour une certaine valeur du paramètre $t$. On sait que l'abscisse du point $A$ est $x_A = 5$.

Étape 2

On détermine la valeur de $t$ correspondant au point $A$ : $$1 + 2t = 5$$ $$2t = 4$$ $$t = 2$$

Étape 3

On en déduit les ordonnée et cote du point $A$ en fonction de $k$ pour $t = 2$ : $$y_A = 2 - 2 = 0$$ $$z_A = k + 3 \times 2 = k + 6$$ Le point $A$ a donc pour coordonnées $A(5\,;\,0\,;\,k+6)$.

Étape 4

Comme le point $A$ appartient également au plan $(P)$, ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne $x + y - z + 4 = 0$. En remplaçant $x$, $y$ et $z$ par les coordonnées de $A$, on obtient : $$5 + 0 - (k + 6) + 4 = 0$$ $$9 - (k + 6) = 0$$ $$3 - k = 0$$ ce qui donne $k = 3$.