Étape 1
L'ensemble $\mathcal{S}$ est la sphère de centre $\Omega(1, 0, 2)$ et de rayon $R = \sqrt{29}$. Son équation cartésienne est : $$(x - 1)^2 + (y - 0)^2 + (z - 2)^2 = (\sqrt{29})^2$$ ce qui équivaut à : $$(x - 1)^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 29$$
Étape 2
Un point $M(t ; k + 2t ; 1 + 2t)$ de la droite $\mathcal{D}_k$ appartient à la sphère $\mathcal{S}$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de $\mathcal{S}$ : $$(t - 1)^2 + (k + 2t)^2 + (1 + 2t - 2)^2 = 29$$
Étape 3
Développons cette expression : $$(t^2 - 2t + 1) + (4t^2 + 4kt + k^2) + (2t - 1)^2 = 29$$ $$(t^2 - 2t + 1) + (4t^2 + 4kt + k^2) + (4t^2 - 4t + 1) = 29$$ En regroupant les termes selon les puissances de $t$, on obtient l'équation du second degré en $t$ : $$9t^2 + (4k - 6)t + (k^2 - 27) = 0$$
Étape 4
La droite $\mathcal{D}_k$ coupe la sphère $\mathcal{S}$ en un unique point si et seulement si cette équation du second degré admet une unique solution réelle, c'est-à-dire si son discriminant $\Delta$ est nul.
Étape 5
Calculons le discriminant $\Delta$ en fonction de $k$ : $$\Delta = (4k - 6)^2 - 4 \times 9 \times (k^2 - 27)$$ $$\Delta = (16k^2 - 48k + 36) - 36(k^2 - 27)$$ $$\Delta = 16k^2 - 48k + 36 - 36k^2 + 972$$ $$\Delta = -20k^2 - 48k + 1008$$
Étape 6
La condition $\Delta = 0$ équivaut à : $$-20k^2 - 48k + 1008 = 0$$ En divisant tous les termes par $-4$, cette équation se simplifie sous la forme : $$5k^2 + 12k - 252 = 0$$
Étape 7
Résolvons cette équation du second degré en $k$. Le discriminant associé est : $$\Delta_k = 12^2 - 4 \times 5 \times (-252) = 144 + 5040 = 5184$$ Comme $\sqrt{5184} = 72$, les solutions sont : $$k_1 = \frac{-12 - 72}{2 \times 5} = -\frac{84}{10} = -8{,}4$$ $$k_2 = \frac{-12 + 72}{2 \times 5} = \frac{60}{10} = 6$$
Étape 8
Comme la consigne précise que $k$ est un nombre réel strictement positif ($k > 0$), la seule valeur retenue est $k = 6$.
Méthode clé
L'intersection d'une droite et d'une sphère se ramène à une équation du second degré en $t$. La droite est tangente à la sphère si et seulement si cette équation possède une unique solution, c'est-à-dire si son discriminant est nul.
Piège à éviter
Oublier de développer correctement le carré du trinôme ou confondre la variable du paramètre $t$ de la droite avec l'inconnue $k$ lors du calcul du discriminant.
