Exercice : Intersections et systèmes d'équations

Étape 1

Pour déterminer si le vecteur $\vec{w}_k$ appartient au plan $\mathcal{P}$, recherchons d'abord un vecteur $\vec{n}(a\,; b\,; c)$ non nul orthogonal au plan $\mathcal{P}$. Ce vecteur doit être orthogonal aux deux vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Étape 2

Par définition du produit scalaire, cela traduit le système suivant : $$\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} a + 2b - c = 0 \\ 2a - b + 3c = 0 \end{cases}$$

Étape 3

Fixons arbitrairement la première coordonnée $a = 1$. Le système devient : $$\begin{cases} 1 + 2b - c = 0 \\ 2 - b + 3c = 0 \end{cases}$$ De la première équation, on extrait $c = 2b + 1$. En substituant cette expression dans la seconde équation, on obtient $$2 - b + 3(2b + 1) = 0$$ ce qui simplifie en $5b + 5 = 0$, soit $b = -1$. On en déduit alors $c = 2(-1) + 1 = -1$.

Étape 4

Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est donc $\vec{n}(1\,; -1\,; -1)$.

Étape 5

Le vecteur $\vec{w}_k$ appartient au plan $\mathcal{P}$ si et seulement s'il est orthogonal à ce vecteur normal $\vec{n}$, c'est-à-dire si leur produit scalaire est nul : $$\vec{w}_k \cdot \vec{n} = 0$$

Étape 6

Exprimons ce produit scalaire en fonction de $k$ : $$\vec{w}_k \cdot \vec{n} = 1 \times (2k + 1) + (-1) \times (k - 4) + (-1) \times (3k - 5)$$ $$\vec{w}_k \cdot \vec{n} = 2k + 1 - k + 4 - 3k + 5 = -2k + 10$$

Étape 7

L'équation $-2k + 10 = 0$ équivaut à $2k = 10$, d'où $k = 5$.