Exercice : Intersections et systèmes d'équations

Étape 1

Pour déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_a$, intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$, on résout le système d'équations :

Étape 2

$$\begin{cases} x + 2y - z + 3 = 0 \\ 2x - y + a z - 1 = 0 \end{cases}$$

Étape 3

En choisissant $z = t$ ($t \in \mathbb{R}$) comme paramètre, le système devient :

Étape 4

$$\begin{cases} x + 2y = t - 3 \\ 2x - y = -at + 1 \end{cases}$$

Étape 5

En multipliant la seconde équation par $2$ et en l'ajoutant à la première, on obtient :

Étape 6

$$5x = (t - 3) + 2(-at + 1) = (1 - 2a)t - 1$$

Étape 7

D'où $x = \dfrac{1 - 2a}{5}t - \dfrac{1}{5}$. En en déduisant $y$, on obtient la représentation paramétrique de $\mathcal{D}_a$ :

Étape 8

$$\begin{cases} x = -\dfrac{1}{5} + \dfrac{1 - 2a}{5}t \\[6pt] y = -\dfrac{7}{5} + \dfrac{a + 2}{5}t \\[6pt] z = t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$

Étape 9

Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}_a$ est donc $\vec{u}_a\left(\dfrac{1-2a}{5}, \dfrac{a+2}{5}, 1\right)$, ou de façon équivalente le vecteur colinéaire $\vec{v}_a(1 - 2a, a + 2, 5)$.

Étape 10

Par ailleurs, un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_3 : 7x + 11y + 5z - 2 = 0$ est $\vec{n}_3(7, 11, 5)$.

Étape 11

La droite $\mathcal{D}_a$ est parallèle au plan $\mathcal{P}_3$ si et seulement si son vecteur directeur $\vec{v}_a$ est orthogonal au vecteur normal $\vec{n}_3$, c'est-à-dire si leur produit scalaire est nul :

Étape 12

$$\vec{v}_a \cdot \vec{n}_3 = 0$$

Étape 13

Calculons ce produit scalaire :

Étape 14

$$\vec{v}_a \cdot \vec{n}_3 = 7(1 - 2a) + 11(a + 2) + 5 \times 5 = 7 - 14a + 11a + 22 + 25 = -3a + 54$$

Étape 15

On résout l'équation en $a$ :

Étape 16

$$-3a + 54 = 0 \iff 3a = 54 \iff a = 18$$

Étape 17

La droite $\mathcal{D}_a$ est donc parallèle au plan $\mathcal{P}_3$ pour $a = 18$.