Exercice : Intersections et systèmes d'équations

Étape 1

Première étape : étude de la direction des droites. Un vecteur directeur de la droite $d_1$ est $\vec{u}(3 \,; 1 \,; -2)$. Un vecteur directeur de la droite $d_k$ est $\vec{v}(2 \,; 3 \,; 3)$. Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles car $\frac{3}{2} \neq \frac{1}{3}$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont donc pas colinéaires, ce qui signifie que les droites $d_1$ et $d_k$ ne sont pas parallèles.

Étape 2

Deuxième étape : condition de coplanarité. Deux droites non parallèles sont coplanaires si et seulement si elles sont sécantes, c'est-à-dire si le système d'équations associant leurs représentations paramétriques admet un unique couple solution $(t \,; s)$.

Étape 3

Troisième étape : résolution du système d'équations. On cherche $(t \,; s)$ tel que : $$\begin{cases} 1 + 3t = k + 2s \quad (1) \\ -1 + t = -2 + 3s \quad (2) \\ 4 - 2t = -3 + 3s \quad (3) \end{cases}$$ De l'équation $(2)$, on extrait $t = 3s - 1$. En substituant cette expression dans l'équation $(3)$, on obtient : $$4 - 2(3s - 1) = -3 + 3s$$ $$6 - 6s = -3 + 3s$$ $$9s = 9$$ D'où $s = 1$. On en déduit ensuite la valeur du paramètre $t$ : $$t = 3 \times 1 - 1 = 2$$

Étape 4

Quatrième étape : détermination du paramètre $k$. Pour que le système soit compatible (et que les deux droites se coupent au point de coordonnées $(7 \,; 1 \,; 0)$), le couple $(t = 2 \,; s = 1)$ doit vérifier l'équation $(1)$ sur les abscisses : $$1 + 3 \times 2 = k + 2 \times 1$$ $$7 = k + 2$$ D'où $k = 5$.

Étape 5

La valeur unique du paramètre réel $k$ pour laquelle les droites $d_1$ et $d_k$ sont coplanaires est $5$.