Exercice : Intersections et systèmes d'équations

Étape 1

Les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes si et seulement s'il existe un unique couple de réels $(t\,;\,k)$ vérifiant l'égalité de leurs coordonnées.

Étape 2

On pose le système d'équations linéaires suivant : $$\begin{cases} 1 + 2t = -1 + k \quad &(1) \\ a + t = 4 + 2k \quad &(2) \\ 3 - t = 1 + k \quad &(3) \end{cases}$$

Étape 3

Déterminons les valeurs de $t$ et $k$ à l'aide des équations $(1)$ et $(3)$. De l'équation $(1)$, on tire $k = 2t + 2$. En substituant $k$ dans l'équation $(3)$, on obtient : $$3 - t = 1 + (2t + 2)$$ ce qui équivaut à $$3 - t = 3 + 2t$$ D'où $3t = 0$, c'est-à-dire $t = 0$.

Étape 4

En remplaçant $t = 0$ dans l'expression de $k$, on trouve : $$k = 2(0) + 2 = 2$$

Étape 5

Pour que le système admette une solution et que les droites soient sécantes, le couple $(t\,;\,k) = (0\,;\,2)$ doit également vérifier l'équation $(2)$ : $$a + 0 = 4 + 2 \times 2$$ D'où $a = 8$.

Étape 6

Pour $a = 8$, les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes au point $I(1\,;\,8\,;\,3)$.