Fonctions trigonométriques
L'essentiel du cours (3 notions)
Équations et inéquations trigonométriques
Propriété : Si $\cos(\alpha) = a$, alors $\cos(x) = a \iff x = \pm\alpha + 2k\pi$. Si $\sin(\alpha) = a$, alors $\sin(x) = a \iff x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = \pi - \alpha + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Méthode : 1. Placer $a$ sur l'axe du cercle trigonométrique (abscisse pour cos, ordonnée pour sin). 2. Identifier les angles associés. 3. Sélectionner les solutions dans l'intervalle demandé.
Exemple : Sur $[-\pi ; \pi]$, $\cos(x) \leqslant \frac{1}{2} \iff x \in [-\pi ; -\frac{\pi}{3}] \cup [\frac{\pi}{3} ; \pi]$ car $\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$.
Étude de fonctions trigonométriques
Propriété : Si $f$ est $T$-périodique et paire (ou impaire), l'étude se réduit à $[0 ; \frac{T}{2}]$. Le graphe sur $\mathbb{R}$ s'en déduit par symétrie et translations.
Méthode : 1. Réduire l'intervalle d'étude grâce à la parité et la périodicité. 2. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. 3. Dresser le tableau de variations et déterminer les extrema.
Exemple : $f(x) = \cos(2x)$ est $\pi$-périodique et paire. Sur $[0 ; \frac{\pi}{2}]$, $f'(x) = -2\sin(2x) \leqslant 0$ : $f$ est strictement décroissante.
Étude de la fonction tangente
Définition : Pour $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$), $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. La fonction tangente est $\pi$-périodique et impaire.
Propriété : $\tan'(x) = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} > 0$. $\tan$ est strictement croissante sur $]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[$ avec des asymptotes verticales en $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
Méthode : 1. Étudier $\tan$ sur $[0 ; \frac{\pi}{2}[$ (parité et $\pi$-périodicité). 2. Exploiter $\lim_{x \to (\pi/2)^-} \tan(x) = +\infty$. 3. Compléter le tracé par symétrie centrale et translation.
On considère l'équation suivante :
$$\sin(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$Déterminer la plus grande solution de cette équation dans l'intervalle $[-\pi, \pi]$.
Exprimer cette solution sous la forme $\dfrac{a}{b}\pi$, où $\dfrac{a}{b}$ est une fraction irréductible.
Saisir la fraction irréductible $\dfrac{a}{b}$ sous la forme a/b.
On considère l'inéquation $2\sin(x) - 1 \geqslant 0$ pour $x \in [0, 2\pi]$.
L'ensemble des solutions de cette inéquation est un intervalle de la forme $[a, b]$.
La différence $b - a$ s'écrit sous la forme $k\pi$, où $k$ est un nombre rationnel.
Saisir la valeur du nombre $k$ sous la forme d'une fraction irréductible.
Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[0\,; \frac{\pi}{2}\right]$ par :
$$f(x) = \sin(x) + \frac{1}{2}\cos(2x)$$Pour déterminer le maximum de cette fonction, suivre la démarche suivante :
- En calculant la fonction dérivée $f'$, vérifier que pour tout $x \in \left[0\,; \frac{\pi}{2}\right]$, on a $f'(x) = \cos(x)(1 - 2\sin(x))$.
- Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left[0\,; \frac{\pi}{2}\right]$ et en déduire le tableau de variations de $f$.
- Justifier l'existence d'un maximum absolu pour la fonction $f$ et calculer sa valeur exacte.
Saisir la valeur décimale du maximum de $f$ sur $\left[0\,; \frac{\pi}{2}\right]$.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; \pi]$ par :
$$f(x) = \cos(2x) - 2\cos(x)$$On cherche à déterminer l'abscisse $x_0 \in [0 ; \pi]$ en laquelle la fonction $f$ atteint son minimum absolu.
- En utilisant la formule $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, calculer la dérivée $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = 2\sin(x)(1 - 2\cos(x))$.
- Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0 ; \pi]$ et dresser le tableau de variations de $f$.
- Justifier que $f$ admet un minimum absolu sur $[0 ; \pi]$ en une valeur $x_0$ de la forme $x_0 = \dfrac{\pi}{k}$, où $k$ est un entier naturel non nul.
Saisir la valeur de l'entier $k$.
Soit $k$ un nombre réel strictement positif. On considère la fonction $f_k$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f_k(x) = 3\cos(2x) - k\cos(x)$$
On admet que la fonction $f_k$ est $2\pi$-périodique et paire sur $\mathbb{R}$.
Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour laquelle le minimum global de la fonction $f_k$ sur $\mathbb{R}$ est égal à $-\dfrac{17}{3}$.
Déterminer la valeur du paramètre $k$.
Soit $k$ un nombre réel strictement positif.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right[$ par :
$$f(x) = \tan^2(x) - k \tan(x)$$On sait que la fonction $f$ admet un unique extremum local sur $\left]-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right[$, et que la valeur de cet extremum est égale à $-4$.
Déterminer la valeur du paramètre $k$.