Exercice : Fonctions trigonométriques

Étape 1

On commence par isoler le terme $\sin(x)$ dans l'inéquation. Pour tout $x \in [0, 2\pi]$, l'inéquation $2\sin(x) - 1 \geqslant 0$ équivaut à : $$\sin(x) \geqslant \frac{1}{2}$$

Étape 2

Sur l'intervalle $[0, 2\pi]$, les réels dont le sinus est égal à $\frac{1}{2}$ sont $\frac{\pi}{6}$ et $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Étape 3

Sur le cercle trigonométrique, l'ensemble des points dont l'ordonnée est supérieure ou égale à $\frac{1}{2}$ correspond à l'arc parcouru lorsque $x$ varie de $\frac{\pi}{6}$ à $\frac{5\pi}{6}$. L'ensemble des solutions est donc l'intervalle $[a, b] = \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$, ce qui donne $a = \frac{\pi}{6}$ et $b = \frac{5\pi}{6}$.

Étape 4

On calcule la différence $b - a$ : $$b - a = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2}{3}\pi$$ Par identification avec $k\pi$, on conclut que $k = \frac{2}{3}$.